logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Granica funkcji, zadanie nr 5407

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

gommex
postów: 14
2015-09-14 15:45:37

Prosiłbym o wyliczenie tych zadanek (chociaz kilka przykladow), dziekuje:

Nie ma za co. Regulamin?
dop. tumor


Wiadomość była modyfikowana 2015-09-14 16:21:40 przez tumor

gommex
postów: 14
2015-09-14 18:03:37

No tak skany - wybacz ale spieszyłem się i zapomniałem.
Oto zadanka z którymi się borykam :

1 Obl granicę ciągu:
a)$\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{2x+9}-3}{5x}$
b)$\lim_{x \to 1}\frac{\sqrt{3x+1}-2}{5x-1}$
c)$\lim_{x \to 0}\frac{3-\sqrt{9+x}}{x}$

2 Korzystając z def. Heinego f. w punkcie obl $\lim_{x \to 0}$ f(x):
a) f(x)$\frac{-x^{2}-2x+3}{x+3}$ ; x0= -3
b) f(x)$\frac{x^{2}+5x+6}{x^{2}-2x-8}$ ; x0= 2



tumor
postów: 8070
2015-09-14 18:16:45

1.

Każdą z granic robimy tą samą metodą

$\frac{\sqrt{2x+9}-3}{5x}*\frac{\sqrt{2x+9}+3}{\sqrt{2x+9}+3}=$
Jeśli je wykonasz, to możemy sprawdzić, czy masz dobrze.


gommex
postów: 14
2015-09-14 18:24:02

To spr:
Po przemnożeniu :
$\frac{2x}{15x+5x*\sqrt{2x+9}}$
dalej
$\frac{2x}{x(15+5*\sqrt{2x+9}}$
skracamy x-y i po podstawieniu pod X 0 wynik będzie 1/15?


tumor
postów: 8070
2015-09-14 18:27:57

Tak.
Korzystamy tu z odpowiednich twierdzeń, że funkcje potęgowe są ciągłe, sumy/ilorazy/złożenia funkcji ciągłych są ciągłe. Wobec tego gdy mianownik się nie zeruje, to można za x podstawić. Wykonany jest poprawnie (może nawias by wypadało zamknąć)


2.
Niech $x_n\in R$, $x_n\neq x_0$ dla $n\in N$ i $x_n\to x_0$
a) $x_0=-3$
$\lim_{n \to \infty} f(x_n)=
\lim_{n \to \infty} \frac{-x_n^2-2x_n+3}{x_n+3}=
\lim_{n \to \infty} \frac{-(x_n+3)(x_n-1)}{x_n+3}=
\lim_{n \to \infty} (1-x_n)=4$

Innymi słowy liczymy granicę ciągu zamiast granicy funkcji. Przy tym granica funkcji istnieje, jeśli niezależnie od wyboru ciągu $x_n$ (spełniającego powyższe założenia) granica ciągu jest taka sama. Tu oczywiście jest.

Wiadomość była modyfikowana 2015-09-14 18:36:07 przez tumor

gommex
postów: 14
2015-09-14 18:43:43

Ok, to liczę pozostałe przykłady a potem zajmę się drugim zadaniem. Co do pierwszego typu to mam już tylko pytania do pozostałych, których tutaj nie ma - czy jeżeli po lim mamy różnicę 2 ułamków (w tym mianownik jednego pod pierwiastkiem) to sprowadzamy do wspólnego mianownika tak?
I pytanie do innego przykładu: jak po lim mamy ułamek a w mianowniku np $\sqrt{7x+2}-\sqrt{5x+6}$ to aby rozwiązać to mnożymy licznik i mianownik przez $\sqrt{7x+2}+\sqrt{5x+6}$?


gommex
postów: 14
2015-09-14 19:00:27

pytanie do takiego przykładu:
$\lim_{x \to 0}\frac{1}{x*\sqrt{x+1}}-\frac{1}{x}$
to czy takie coś jest prawidłowe ?:
$\frac{1}{x*\sqrt{x+1}}-\frac{\sqrt{x+1}}{x*\sqrt{x+1}}$
I wychodzi:
$\frac{1-\sqrt{x+1}}{x*\sqrt{x+1}}$
I dalej już nie wiem co z tym fantm

Wiadomość była modyfikowana 2015-09-14 19:16:36 przez gommex

tumor
postów: 8070
2015-09-14 19:01:45

Ogólnie mówiąc - mianownik się zerować nie powinien, bo się przez zero nie dzieli.
Nic nie przeszkadzają pierwiastki w mianowniku czy dwa ułamki zamiast jednego, DOPÓKI NIE MAJĄ 0 W MIANOWNIKACH. Natomiast gdyby nam wychodziło 0 w mianowniku, to wtedy coś trzeba zrobić.

Jednym ze sposobów radzenia sobie z pierwiastkami jest usunięcie niewymierności z mianownika. Czasem można zostawić niewymierność, a x wyłączyć przed pierwiastek. Różnie to przebiega. Ważne, by skrócić, zlikwidować, przekształcić te wstrętne dzielenia przez 0 na coś akceptowalnego.

Przykład, który podajesz dla x=2 dałby 0. W każdym innym x nie trzeba nic robić, by granica wyszła, natomiast gdybyś miał liczyć x=2, to jedną z metod jest pozbycie się pierwiastków przez pomnożenie tak, jak to robisz.

Wyjdzie 2x-4. Zauważ, że dla x=2 to WCIĄŻ się zeruje.
2x-4=2(x-2) i to (x-2) należy z czymś skrócić (zapewne z licznikiem odpowiednio dobranym) by liczyć granicę.
Jeśli z licznikiem skrócić się nie da, to możemy mieć do czynienia z granicą niewłaściwą równą $\pm \infty$, ale by to stwierdzić potrzeba konkretnego przykładu.

Nie ucz się tylko tego, co robić. Naucz się DLACZEGO wybieramy te metodę i co chcemy osiągnąć.


----

W tym ostatnim przykładzie przeszkadza x w mianowniku. Sprawdzimy, czy się da skrócić z licznikiem. Ale w liczniku jest różnica $1-\sqrt{x+1}$, czyli mnożymy przez $1+\sqrt{x+1}$.
Zostanie x, czyli się skróci z mianownikiem.

Wiadomość była modyfikowana 2015-09-14 19:21:58 przez tumor

gommex
postów: 14
2015-09-15 14:15:57

Hejka, dzięki za zainteresowanie. Wczoraj już nie miałem czasu i dzisiaj policzyłem trochę zadań jeszcze i mam pytania tu i ówdzie:

Zad 1 typu wyniki do spr:
b)
$\lim_{x \to 1}\frac{\sqrt{3x+1}-2}{x-1}$
mój wynik: 3/4

c)
$\lim_{x \to 0}\frac{3-\sqrt{9+x}}{x}$
wynik: -1/6

d)Tutaj jest przykład, gdzi podałeś,że mam przemnożyć przez $1+\sqrt{x+1}$
i pierdoły mi chyba wychodzą...
$\lim_{x \to 0}\frac{1}{x*\sqrt{x+1}}-\frac{1}{x}$

wymnożyłem jak powiedziałeś i powstało mi:
$\frac{-x}{x*\sqrt{x+1}+x^{2}+x}$
chyba coś pokręciłem...

dalej:
e)
$\lim_{x \to 4}\frac{x-4}{\sqrt{2x+1}-3}$
wynik: 3

f)
$\lim_{x \to 2}\frac{3x-6}{\sqrt{7x+2}-\sqrt{5x+6}}$
wynik: 12

Zad 2 typu:

b)
f(x)=$\frac{x^{2}+5x+6}{x^{2}-2x-8}$ x0=-2
wynik: 1/6

c) f(x)$\frac{x^{2}-4x-5}{x^{2}-7x+1}$ x0=5
tutaj nie wiem co i jak bo delta z mianownika wychodzi 49 i powstaje taki twór:
$\frac{(x-5)*(x+2)}{(x-\frac{7+3\sqrt{5}}{2})*(x+\frac{7-3\sqrt{5}}{2}}$
i też nie wiem co dalej z tym fantem..?

d)f(x)=$\frac{2x-14}{x^{2}+9x-14}$, x0=7
i tutaj delta mianownika jest <0 i co dalej ?

e)
f(x)=\frac{6-3x}{12-4x-x^{2}}, x0=-4
wynik" -3/2

f)
f(x)=$\frac{2x^{2}+x-6}{2x^{2}-5x+3}$, x0=1,5
wynik =7

Jeszcze takie pytanie do innych przykładów też metodą Heina:
g) $f(x)=\frac{x^{3}-1}{x-1}$, x0=1
wynik=1
h) $f(x)=\frac{x^{3}-1}{x-1}$, x0= -1
chodzi o te podpunkty czy postępowanie jest identyczne, tylko, że dodaje się w h), że xn=/=1 i też od -1 ?

i co zrobić kiedy mam taki podpunkt:
i) f(x)=$\frac{x-27}{\sqrt[3]{x}-3}$, x0=27
dochodzę do momentu :
$\frac{x-3^{3}}{x^{\frac{1}{3}}-3}$
i co dalej ? można te potęgi jakoś odjąć kiedy podstawa licznika i mianownika jest taka sama z różnymi potęgami ?

Dzięki wielkie za zainteresowanie i pomoc w tych zadaniach ! :)


tumor
postów: 8070
2015-09-15 14:33:12

d)
Ogólnie praktyczniejsze jest nie wymnażać mianownika, tylko go trzymać w postaci iloczynu.

Jednakże jeśli już wymnożyłeś, to problemu wielkiego nie ma. W mianowniku x przed nawias i skrócić z x z licznika.

Pozostałe wyglądają ok, choć nie liczę dokładnie, bo mi się śpieszy.

-----

W zadaniu 2
c)
Jeśli podstawienie $x_0$ NIE POWODUJE zerowania mianownika, to wystarczy podstawić za x wartość $x_0$. Skraca się tylko po to, żeby usunąć 0 w mianowniku. Jeśli nie ma czego usuwać, to nie ma po co skracać. Halo. Mówię, żebyś się zastanawiał PO CO stosujesz metodę, a nie tylko jaką.

Natomiast podejrzewam, że w zadaniu mianownik mógł być $x^2-7x+10$, a zmienił się na skutek literówki.

b) jesteś pewien znaku?

d) NIC U LICHA.
Jeśli wystarczy podstawić $x_0$, to wystarczy podstawić. :)
Jeśli masz to zrobić z definicji Heinego, to operujesz na ciągach, ale poza tym nic się nie zmienia.

Skracanie było potrzebne tam, gdzie było 0 w mianowniku. Jak nie ma, to nie ma.

e,f) możesz rozpisać obliczenia?

I podobnie g), rozpisz proszę, jak to liczysz

w h) dla poprawnego wyniku wystarczy podstawić -1
i) ze wzoru skróconego mnożenia, jak g)




strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj