Granica funkcji, zadanie nr 5407

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
gommex postów: 14	2015-09-15 16:55:51 Zad 2 b) - zrobiłem literówkę przepisując ;) d) Czyli wystarczy podstawić na wzór: $xn\in R, xn\neq x0, dla n\in N, i xn\rightarrow x0$ $\lim_{n \to \infty}\frac{2xn-14}{xn^{2}+9xn-14}$ i podstawić normalnie x0 podane w zadaniu ? Tu właśnie mam pytanie: W zadaniu zazwyczaj mamy podany punkt x0 i w ostateczności kiedy tworzymy ciąg xn i zawsze to x0 podstawiamy? Bo jeżeli mamy ułamek w funkcji to trzeba też podać od czego x musi być różne ? np w tym przykładzie od miejsc zerowych (gdyby takowe wyszły) ? Jeszcze chciałem spytać, bo się spotkałem w necie z informacją, że czasami buduje się 2 ciągi do obl granicy - ale tutaj chyba takiej potrzeby nie było - jeżeli tworzy się 2 ciągi to podałbyś mi to na jakimś konkretnym przykładzie? I ogólnie chciałbym podsumować: Gdy obliczamy granicę bez opierania się o definicję to wystarczy podstawić x0 pod x-y i dopiero ggdy wychodzi dzielenie przez 0 to sprowadzamy do postaci by tego 0 uniknąć tak ? A jeżeli chodzi o granicę z def np Heinego to polega na tym, że piszemy te warunki co wyżej i z równania funkcji tworzymy ciąg i ewentualnie też upraszczamy by nie dzielić przez 0 a gdy można to podstawiamy normalnie tak jak w przypadku zwykłego obliczania granicy ? Dobrze zrozumiałem ? Co do reszty: co do 2 c) może i jest błąd ale chyba książkowy bo właśnie jest dosłownie w zadaniu podana funkcja: x2−7x+1 - a jeżeli to nie literówka to po prostu nie liczyć miejsc zerowych (bo tych nie ma) tylko podstawiać x0 pod równania utworzonego ciągu? 2 e) $f(x)=\frac{6-3x}{12-4x-x^{2}}$x0=-4: $f(x)=\frac{6-3x}{-x^{2}-4x+12}$ $Delta:4^{2}-(4(-1)12$ $Delta: 16+48= 64, pierwiastek d. = 8$ $x1,x2= \frac{-(-4)+-8}{2*(-2)}$ $x1=\frac{12}{-2}= -6 / x2=\frac{-4}{-2}=2 $ po podstawieniu: $\frac{6-3x}{(x+6)(x-2)}$ $\frac{-3x+6}{(x+6)(x-2)}$ $\frac{-3(x-2)}{(x+6)(x-2)}$ (x-2) się skraca w liczniku i mianowniku i pozostaje : $\frac{-3}{(x+6)}$ Tutaj podstawiam pod x (xn) podany punkt x0=-4 i mam: $\frac{-3}{-4+6}=- \frac{3}{2}$ Jeżeli chodzi o podpunkt f) to robię go analogicznie CO do g) $f(x)=\frac{x^{3}-1}{x-1}$, x0=1 To patrze na swoje notatki i walnąłem się bo policzyłem z rozpędu, przewidziało mi się, że jest w liczniku $x^{3}-x$ i stąd wysunąłem x przed nawias a tu faktycznie jest 1 nie x...To będzie trzeba jak wcześniej podłożyć ze wzorku na a^3-b^3? Ale z h) nie mogę wykombinować bo mi wyjdzie: $\frac{x^{\frac{1}{3}}+4}{x+4^{3}}$ Wiadomość była modyfikowana 2015-09-15 18:33:12 przez gommex

tumor postów: 8070	2015-09-16 08:13:49 d) korzystamy z odpowiednich twierdzeń, że jeśli dwa ciągi mają granice a,b to ich suma, różnica, iloczyn, iloraz ma granice odpowiednio a+b, a-b, a*b, a:b (przy tym ostatnim założenie ważne, że b nie jest zerem). Jak widać, metody zmieniamy dopiero, gdy się mianownik zeruje. Ogólnie granica w sensie Heinego w pewnym $x_0$ wymaga, aby istniało pewne sąsiedztwo S punktu $x_0$, w którym funkcja jest określona, czyli nasze ciągi spełniają $x_n\in S$ (wyrazy ciągów należą do sąsiedztwa) oraz $x_n \to x_0$ (zbliżają się do $x_0$). Znamy zatem granicę ciągu $x_n$, i korzystając z wspomnianych twierdzeń umiemy podać granicę ciągu $f(x_n)$. Biorąc ogólnie $x_n$ bez podawania o nim żadnej innej informacji niż te stwierdzone wyżej, możemy w niektórych przypadkach dostać ten sam wynik dla $f(x_n)$. To oznacza, że f ma granicę w $x_0$. Może się jednak zdarzyć, że wybór różnych ciągów $x_n$ pociąga za sobą istnienie różnych granic f(x_n). Na przykład dla funkcji $f(x)=\frac{x}{\|x\|}$ i $x_0=0$. Najprościej dla $x_n=\frac{1}{n}\to 0$ będzie $f(x_n)\to 1$ natomiast dla $x_n=-\frac{1}{n}\to 0$ będzie $f(x_n)\to -1$. W takiej to sytuacji bierze się DWA (bo nie trzeba więcej) różne ciągi tak dobrane, by pokazać, że granice NIE SĄ RÓWNE. Żeby pokazać, że są równe, musimy wziąć WSZYSTKIE ciągi $x_n$, co oczywiście niewykonalne gdyby brać po jednym. Wykonalne tylko, jeśli rozwiązujemy ogólnie, tak jak zaproponowałem wcześniej. Weźmy prosty przykład $x_0=1$ $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ Mamy $x_n\neq 1$ (bo sąsiedztwem S są wszystkie liczby rzeczywiste poza $x_0$) oraz $x_n\to 1$ (to jedyna wskazówka na temat liczenia granicy). Nie możemy w tym miejscu podstawić $x_0$ za x, bo mianownik by się zerował i tajemnica straszna, dzielenie przez zero. Możemy jednak zastąpić x wyrazami ciągu $x_n$. Możemy też skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia. $\frac{(x_n-1)(x_n+1)}{x_n-1}$ skoro $x_n\neq 1$, to można identyczne (niezerowe!) nawiasy ze sobą skrócić. $\frac{(x_n-1)(x_n+1)}{x_n-1}=x_n+1$ A granicę takiego ciągu umiemy policzyć, bo skoro $x_n\to 1$, a $1\to 1$, to suma ciągów ma granicę będącą sumą granic. I już. Po to są te metody ----- Istnieją trochę trudniejsze ciągi/funkcje niż na razie proponujesz, w których korzysta się z lepszych metod. Na razie jedynym problemem było dzielenie przez 0, ale mogą się pojawić ciągi, w których samo podstawienie nic Ci nie powie. Na przykład $(1+\frac{1}{n})^n$ $(1+\frac{1}{n})^{2^n}$ $(1-\frac{1}{n})^n$ $\frac{2^n}{n!}$ $\frac{2^nn!}{n^n}$ $\sqrt[n]{n^2+2^n}$ ---- 2c Wystarczy podstawić $x_0$ do wyrażenia. 2e Jeśli masz $ax^2+bx+c$ i wyliczyć miejsca zerowe $x_1, x_2$, to $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ Chyba zapomniałeś o tym $a$ po prawej. 2g tak, wzór skróconego mnożenia 2h NIC NIE TRZEBA KOMBINOWAĆ. Podstawić, gotowe. 2i $x-27=(x^\frac{1}{3})^3-3^3$

gommex postów: 14	2015-09-19 18:18:17 Ok, dzięki wielkie za pomoc ! Ten wątek można już zamknąć bo kolejne zadanko jakie mam jest również z granic ale już innej wagi na nowy wątek - thx.

strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj