logowanie

Granica funkcji, zadanie nr 5407

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

Autor	Zadanie / RozwiÄ zanie
gommex postĂłw: 14	2015-09-15 16:55:51 Zad 2 b) - zrobiłem literĂłwkę przepisujÄ c ;) d) Czyli wystarczy podstawić na wzĂłr: $xn\in R, xn\neq x0, dla n\in N, i xn\rightarrow x0$ $\lim_{n \to \infty}\frac{2xn-14}{xn^{2}+9xn-14}$ i podstawić normalnie x0 podane w zadaniu ? Tu właśnie mam pytanie: W zadaniu zazwyczaj mamy podany punkt x0 i w ostateczności kiedy tworzymy ciÄ g xn i zawsze to x0 podstawiamy? Bo jeĹźeli mamy ułamek w funkcji to trzeba teĹź podać od czego x musi być róşne ? np w tym przykładzie od miejsc zerowych (gdyby takowe wyszły) ? Jeszcze chciałem spytać, bo się spotkałem w necie z informacjÄ , Ĺźe czasami buduje się 2 ciÄ gi do obl granicy - ale tutaj chyba takiej potrzeby nie było - jeĹźeli tworzy się 2 ciÄ gi to podałbyś mi to na jakimś konkretnym przykładzie? I ogĂłlnie chciałbym podsumować: Gdy obliczamy granicę bez opierania się o definicję to wystarczy podstawić x0 pod x-y i dopiero ggdy wychodzi dzielenie przez 0 to sprowadzamy do postaci by tego 0 uniknÄ Ä‡ tak ? A jeĹźeli chodzi o granicę z def np Heinego to polega na tym, Ĺźe piszemy te warunki co wyĹźej i z rĂłwnania funkcji tworzymy ciÄ g i ewentualnie teĹź upraszczamy by nie dzielić przez 0 a gdy moĹźna to podstawiamy normalnie tak jak w przypadku zwykłego obliczania granicy ? Dobrze zrozumiałem ? Co do reszty: co do 2 c) moĹźe i jest bĹ‚Ä d ale chyba ksiÄ Ĺźkowy bo właśnie jest dosłownie w zadaniu podana funkcja: x2−7x+1 - a jeĹźeli to nie literĂłwka to po prostu nie liczyć miejsc zerowych (bo tych nie ma) tylko podstawiać x0 pod rĂłwnania utworzonego ciÄ gu? 2 e) $f(x)=\frac{6-3x}{12-4x-x^{2}}$x0=-4: $f(x)=\frac{6-3x}{-x^{2}-4x+12}$ $Delta:4^{2}-(4*(-1)*12$ $Delta: 16+48= 64, pierwiastek d. = 8$ $x1,x2= \frac{-(-4)+-8}{2*(-2)}$ $x1=\frac{12}{-2}= -6 / x2=\frac{-4}{-2}=2 $ po podstawieniu: $\frac{6-3x}{(x+6)(x-2)}$ $\frac{-3x+6}{(x+6)(x-2)}$ $\frac{-3(x-2)}{(x+6)(x-2)}$ (x-2) się skraca w liczniku i mianowniku i pozostaje : $\frac{-3}{(x+6)}$ Tutaj podstawiam pod x (xn) podany punkt x0=-4 i mam: $\frac{-3}{-4+6}=- \frac{3}{2}$ JeĹźeli chodzi o podpunkt f) to robię go analogicznie CO do g) $f(x)=\frac{x^{3}-1}{x-1}$, x0=1 To patrze na swoje notatki i walnÄ Ĺ‚em się bo policzyłem z rozpędu, przewidziało mi się, Ĺźe jest w liczniku $x^{3}-x$ i stÄ d wysunÄ Ĺ‚em x przed nawias a tu faktycznie jest 1 nie x...To będzie trzeba jak wcześniej podłoĹźyć ze wzorku na a^3-b^3? Ale z h) nie mogę wykombinować bo mi wyjdzie: $\frac{x^{\frac{1}{3}}+4}{x+4^{3}}$ Wiadomość była modyfikowana 2015-09-15 18:33:12 przez gommex
tumor postĂłw: 8070	2015-09-16 08:13:49 d) korzystamy z odpowiednich twierdzeń, Ĺźe jeśli dwa ciÄ gi majÄ granice a,b to ich suma, róşnica, iloczyn, iloraz ma granice odpowiednio a+b, a-b, a*b, a:b (przy tym ostatnim załoĹźenie waĹźne, Ĺźe b nie jest zerem). Jak widać, metody zmieniamy dopiero, gdy się mianownik zeruje. OgĂłlnie granica w sensie Heinego w pewnym $x_0$ wymaga, aby istniało pewne sÄ siedztwo S punktu $x_0$, w ktĂłrym funkcja jest określona, czyli nasze ciÄ gi spełniajÄ $x_n\in S$ (wyrazy ciÄ gĂłw naleĹźÄ do sÄ siedztwa) oraz $x_n \to x_0$ (zbliĹźajÄ się do $x_0$). Znamy zatem granicę ciÄ gu $x_n$, i korzystajÄ c z wspomnianych twierdzeń umiemy podać granicę ciÄ gu $f(x_n)$. BiorÄ c ogĂłlnie $x_n$ bez podawania o nim Ĺźadnej innej informacji niĹź te stwierdzone wyĹźej, moĹźemy w niektĂłrych przypadkach dostać ten sam wynik dla $f(x_n)$. To oznacza, Ĺźe f ma granicę w $x_0$. MoĹźe się jednak zdarzyć, Ĺźe wybĂłr róşnych ciÄ gĂłw $x_n$ pociÄ ga za sobÄ istnienie róşnych granic f(x_n). Na przykład dla funkcji $f(x)=\frac{x}{|x|}$ i $x_0=0$. Najprościej dla $x_n=\frac{1}{n}\to 0$ będzie $f(x_n)\to 1$ natomiast dla $x_n=-\frac{1}{n}\to 0$ będzie $f(x_n)\to -1$. W takiej to sytuacji bierze się DWA (bo nie trzeba więcej) róşne ciÄ gi tak dobrane, by pokazać, Ĺźe granice NIE SĄ RÓWNE. Ĺťeby pokazać, Ĺźe sÄ rĂłwne, musimy wziÄ Ä‡ WSZYSTKIE ciÄ gi $x_n$, co oczywiście niewykonalne gdyby brać po jednym. Wykonalne tylko, jeśli rozwiÄ zujemy ogĂłlnie, tak jak zaproponowałem wcześniej. WeĹşmy prosty przykład $x_0=1$ $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ Mamy $x_n\neq 1$ (bo sÄ siedztwem S sÄ wszystkie liczby rzeczywiste poza $x_0$) oraz $x_n\to 1$ (to jedyna wskazĂłwka na temat liczenia granicy). Nie moĹźemy w tym miejscu podstawić $x_0$ za x, bo mianownik by się zerował i tajemnica straszna, dzielenie przez zero. MoĹźemy jednak zastÄ pić x wyrazami ciÄ gu $x_n$. MoĹźemy teĹź skorzystać ze wzoru skrĂłconego mnoĹźenia. $\frac{(x_n-1)(x_n+1)}{x_n-1}$ skoro $x_n\neq 1$, to moĹźna identyczne (niezerowe!) nawiasy ze sobÄ skrĂłcić. $\frac{(x_n-1)(x_n+1)}{x_n-1}=x_n+1$ A granicę takiego ciÄ gu umiemy policzyć, bo skoro $x_n\to 1$, a $1\to 1$, to suma ciÄ gĂłw ma granicę będÄ cÄ sumÄ granic. I juĹź. Po to sÄ te metody ----- IstniejÄ trochę trudniejsze ciÄ gi/funkcje niĹź na razie proponujesz, w ktĂłrych korzysta się z lepszych metod. Na razie jedynym problemem było dzielenie przez 0, ale mogÄ się pojawić ciÄ gi, w ktĂłrych samo podstawienie nic Ci nie powie. Na przykład $(1+\frac{1}{n})^n$ $(1+\frac{1}{n})^{2^n}$ $(1-\frac{1}{n})^n$ $\frac{2^n}{n!}$ $\frac{2^nn!}{n^n}$ $\sqrt[n]{n^2+2^n}$ ---- 2c Wystarczy podstawić $x_0$ do wyraĹźenia. 2e Jeśli masz $ax^2+bx+c$ i wyliczyć miejsca zerowe $x_1, x_2$, to $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ Chyba zapomniałeś o tym $a$ po prawej. 2g tak, wzĂłr skrĂłconego mnoĹźenia 2h NIC NIE TRZEBA KOMBINOWAĆ. Podstawić, gotowe. 2i $x-27=(x^\frac{1}{3})^3-3^3$
gommex postĂłw: 14	2015-09-19 18:18:17 Ok, dzięki wielkie za pomoc ! Ten wÄ tek moĹźna juĹź zamknÄ Ä‡ bo kolejne zadanko jakie mam jest rĂłwnieĹź z granic ale juĹź innej wagi na nowy wÄ tek - thx.
strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj

© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj