logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Planimetria, zadanie nr 5895

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

iwka
postów: 128
2016-10-21 16:49:07

Dany jest trójkąt ABC, w którym kąt przy wierzchołku A ma miarę 60 stopni. Środkowa CS i wysokość BH tego trójkąta przecinają się w punkcie P. Wykaż, że trójkąt ABC jest prostokątny, jeśli /CP/=6 i /PS/=1


tumor
postów: 8070
2016-10-21 17:41:40

Oczywiście kąt prosty nie może być przy C, więc spodziewamy się go przy B (i możemy zrobić odpowiedni rysunek).

Oznaczmy długość AB przez a.
Trójkąt ABH jest prostokątny z kątem ostrym $60^\circ$, wobec tego możemy policzyć długości jego odcinków zależnie od a.
Załóżmy teraz, że kąt ABC jest prosty. Łatwo policzyć w zależności od a wszystkie inne boki, także długość środkowej CS, a wykorzystując trójkąt prostokątny HPC fragment tej środkowej do punktu P. Sprawdzamy, że dla kąta prostego stosunek między odcinkami, na które P dzieli środkową CS jest $k=\frac{6}{1}$. (ja nie sprawdziłem, ale zadanie mówi, że to ma nam wyjść. Coś pewnie wyjdzie)

Popatrzmy teraz na prostą przechodzącą przez AC. Jeśli przesuniemy wierzchołek C dalej od A po tej prostej, to wydłużymy CP, skrócimy PS, wobec tego stosunek wyjdzie większy od k.
Jeśli przesuniemy C w stronę A po tej prostej, to skrócimy CP, wydłużymy PS, wobec tego stosunek wyjdzie mniejszy od k.
Jeśli zatem dla kąta prostego wyniesie od $\frac{6}{1}$, to dostajemy informację, że jeśli jest on $\frac{6}{1}$, to kąt musi być prosty.






iwka
postów: 128
2016-10-22 19:07:18

a nie ma jakiegoś innego łatwiejszego sposobu rozwiązania tego? bo strasznie to skomplikowane


tumor
postów: 8070
2016-10-22 20:32:45

Może jest. Czym innym jest rozwiązać zadanie, a czym innym - rozwiązać na wszystkie sposoby. Nie mam czasu wymyślać wszystkich możliwych sposobów, żeby wyszedł najłatwiejszy. Zresztą, czy to jest moje zadanie domowe?

Powyższy sposób jest jednak łatwy. Odwraca tylko rozumowanie. W zadaniu mamy pokazać, że przy odpowiednich warunkach kąt jest prosty. Ja pokazuję, że warunki te są spełnione dla kąta prostego, natomiast dla żadnego innego nie. Jest fajniusio.


iwka
postów: 128
2016-10-22 21:03:10

no własnie to jest moje zadanie, ale w życiu bym nie potrafiła go wyltumaczyc na lekcji przy tablicy gdybym miala zrobic tak jak Ty, mimo ze to jest dobrze, potrzebuje czegos duzo prostszego


tumor
postów: 8070
2016-10-22 21:26:41

No to masz drugie rozwiązanie, ale już ostatnie

Wygodniej mi narysować trójkąt ABC tak, żeby leżał na podstawie AC, poza tym oznaczenia są jak wcześniej. Wysokość BH jest teraz pionowa, prowadzimy równoległą do niej PG (G jest punktem na odcinku AC)

Proporcje CH:HG mamy z tw. Talesa (dla kąta przy C), proporcje HG:GA także z Talesa (dla kąta przy A)
Wobec tego wiemy, jak punkty H,G dzielą podstawę AC.
Możemy teraz policzyć proporcję BH:HA (to tangens kąta 60 stopni).
Poznajemy dzięki temu proporcję BH:HC, która pozwala nam ustalić, jakie kąty są przy C i B.


iwka
postów: 128
2016-10-23 12:21:05

tylko nie możemy poprowadzić PG bo P już wystepuje, jest punktem przeciecia się środkowej z wysokoscią ;) ale załóżmy że już dałam inną literę i jest równoległa RG, ale trochę nie rozumiem, czemu ma byc proporcja CH:HG , bo wiemy, ile ma PC(6) ale nie ma jak wziąć odpowiedniego do HG, bo tam nie ma żadnej liczby


tumor
postów: 8070
2016-10-23 17:07:30

SG, dobra. :) Tak to jest, jak się nie robi rysunku, tylko sobie wyobraża. Baby.

Wiadomość była modyfikowana 2016-10-23 17:09:34 przez tumor

iwka
postów: 128
2016-10-23 17:24:59

jakto SG? przeciez nie ma takiego odcinka?


tumor
postów: 8070
2016-10-23 17:33:56

To se go narysuj, młoda damo.

strony: 1 23

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 30 drukuj