logowanie

matematyka » forum » liceum » zadanie

Inne, zadanie nr 6025

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

sarka17
postów: 8
2017-02-12 18:05:45

Wyznacz długości boków a i b trójkąta równoramiennego tak aby jego pole powierzchni przy obwodzie równym 6 było jak największe.

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania jak najbardziej szczegółowe wyjaśnienia, tak abym to wreszcie zrozumiała. Mam odpowiedzi i a oraz b mają wynosić 2.


tumor
postów: 8085
2017-02-12 18:24:49

Przyjmijmy, że a to podstawa, b ramię.

Jak obliczysz (z twierdzenia Pitagorasa) wysokość h trójkąta równoramiennego o podstawie a, ramieniu b?


sarka17
postów: 8
2017-02-12 18:42:48

no to będzie pierwiastek z b^2 - (1/2 a)^2 i wiem, ze moge okreslic to, tak aby miec tylko jedna niewiadoma, uzywajac wiedzy, ze obwod wynosi 6, czyli bedzie to pierwiastek z (1/2 (6-a))^2 - (1/2 a)^2


tumor
postów: 8085
2017-02-12 19:01:41

No i bardzo ładnie.

Interesuje Cię największa wartość $\frac{1}{2}ah$, czyli największa wartość, jaką może przyjąć
$P=\frac{1}{2}*a*\sqrt{...}$ nie chce mi się tego pierwiastka pisać.

Oczywiście największa wartość pola będzie dla takiego samego argumentu a jak największa wartość pola podniesionego do kwadratu. Czyli możemy szukać a, dla którego największe będzie

$P^2=\frac{1}{4}*a^2*((\frac{1}{2} (6-a))^2 - (\frac{1}{2} a)^2)$
przy oczywistych założeniach, że a>0 i a<3

Teraz takie pytanie: czy możemy użyć pochodnych?


sarka17
postów: 8
2017-02-12 19:08:36

Dlaczego a<3?
Tak,ja w szkole robiłam właśnie tego typu zadania na pochodnych funkcji.


tumor
postów: 8085
2017-02-12 19:39:15

Żaden bok trójkąta nie może być równy lub większy od połowy obwodu. :) Wynika to z warunku trójkąta
a<b+c
b<c+a
c<a+b
gdyby jeden bok, na przykład c, był większy lub równy połowie obwodu, mielibyśmy
$c\ge a+b$

No ale mamy już funkcję (proponuję wziąć ten kwadrat pola) i za pomocą pochodnych możemy poszukać jej maksimum lokalnego w przedziale (0,3). Wymnóż nawias, potem gdy już przedstawisz funkcję nieco ładniej, policz jej pochodną.


sarka17
postów: 8
2017-02-12 19:47:26

to spróbuję:
P^2= 1/4a^2 ((9-3a+ 1/4 a^2) - 1/4 a^2)

i tu się gubię :(


tumor
postów: 8085
2017-02-12 19:59:52

Na odejmowaniu? :)

$\frac{1}{4}a^2(9-3a)$

Teraz uwaga: jeśli funkcja f(x) ma gdzieś maksimum M, to funkcja cf(x), gdzie c jest dodatnią stałą, ma w tym samym miejscu maksimum c*M, to chyba jasne.

Wobec tego nie musimy przez wieczność pisać $\frac{1}{4}$. To tylko zmniejsza czytelność.

Szukamy zatem maksimum dla funkcji
$a^2(9-3a)$ w przedziale (0,3)
Może być wygodniej najpierw to wymnożyć.


sarka17
postów: 8
2017-02-12 20:21:07

Ja nie rozumiem,dlaczego ta 1/4 nie jest już potrzebna, przecież to stoi we wzorze na pole, to dlaczego mogę tak po prostu sobie to pominąć?

Więc ja policzę to z 1/4

P^2= 9/4 a^2 - 3/4 a^3

I teraz zrobię pochodną

P^2'=18/4 a - 9/4 a^2

No i wyliczam miejsce zerowe:

0=a(18/4 - 9/4 a)

0=18/4 - 9/4 a

9/4 a = 18/4 /:9/4

a=2

Tak???



sarka17
postów: 8
2017-02-12 20:30:32

I mam jeszcze pytanie takie, czy do tego zadania jest również możliwość obliczenia minimum tej funkcji?

Bo akurat dziwnym trafem wyszło mi maximum (z innych zadań wiem,że liczy się to tak samo) wiem, że sprawdza się to z drugiej pochodnej funkcji, ale zawsze właśnie wychodziło mi od razu to, o co proszą w poleceniu i zawsze się zastanawiałam, co jakby np. zamiast o maximum pytali o minimum?


strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 24 drukuj