logowanie

Topologia, zadanie nr 1756

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

Autor	Zadanie / RozwiÄ zanie
agusiaczarna22 postĂłw: 106	2013-11-28 00:36:25 Mam danÄ funkcję: a)f:$R \to R: f(x)=[x]$ dla $x \in R$ b)$f:R \to R: f(x)=1-x^2$ dla $x>0, f(x)=x^2,$ dla $x \le 0$ i mam korzystajÄ z definicji otoczenia typu $\epsilon -\delta$oraz ciÄ gowej wykazać, Ĺźe funkcja f nie jest ciÄ gła.A takĹźe wskazać zbiĂłr otwarty G taki, Ĺźe $f^-1(G)$ nie jest otwarty.Proszę o pomoc:(
tumor postĂłw: 8070	2013-11-28 11:37:06 a) WeĹşmy $x_0\in Z$. ZresztÄ na dobrÄ sprawę moĹźna konkretnie, $x_0=1$. Wystarczy nieciÄ głość w jednym punkcie, nie? :) $f(1)=1$. WeĹşmy $0<\epsilon<1$. WĂłwczas dla dowolnej $\delta>0$ mamy $f(x-\frac{\delta}{2})\le 0 < 1-\epsilon$, co przeczy definicji ciÄ głości Cauchy\'ego. Dla Heinego: bierzemy ciÄ g wyrazĂłw $x_n=1-\frac{1}{n}\rightarrow 1$ Mamy $f(x_n)=0$ dla $n\in N$, zatem $f(x_n) \rightarrow 0 \neq f(1)$, co przeczy definicji ciÄ głości Hainego.
tumor postów: 8070	2013-11-28 11:45:16 b) $x_0=0$ $f(0)=0$ Heinego: $x_n=\frac{1}{n}\rightarrow 0$ $f(x_n)=1-\frac{1}{n^2} \rightarrow 1 \neq f(0)$ Cauchy\'ego: $0<\epsilon<\frac{1}{2}$ dowolny $\delta>0$ dowolna Weźmy za $h$ minimum z liczb $\frac{\delta}{2}$, $\frac{1}{2}$. Mamy $f(h)=1-h^2>f(0)+\epsilon$ Wiadomość była modyfikowana 2013-11-28 11:55:16 przez tumor
tumor postĂłw: 8070	2013-11-28 11:58:07 i jeszcze ten otwarty zbiĂłr. a) $G=(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$ $f^{-1}(G)=[1,2)$ b) $G=(-\frac{1}{4},\frac{1}{4})$ $f^{-1}(G)=(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{\sqrt{5}}{2})\cup (-\frac{1}{2};0]$
agusiaczarna22 postĂłw: 106	2013-11-28 19:43:33 A jeśli mam takie warunki: 1.Dla kaĹźdego otoczenia $U$ punktu $f(a)$ istnieje otoczenie $V$ punktu $a$ takie, Ĺźe $f(V)=U$. 2.$\forall_{\varepsilon>0}\exists_{\delta>0} f(K_{\delta}(a))\subset K_{\varepsilon}f(a)$ 3.$\forall_{\varepsilon>0}\exists_{\delta>0}\forall_{x\in X}d_X(x,a)<\delta\Rightarrow d_Y(f(x),f(a))<\varepsilon$ 4.Dla kaĹźdego ciÄ gu $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ elementĂłw $X$ mamy $x_n\to a\Rightarrow f(x_n)\to f(a)$. I musiałabym z tych definicji wykazać, Ĺźe nie sÄ ciÄ głe to jak to zrobić?? Wiadomość była modyfikowana 2013-11-28 19:47:54 przez agusiaczarna22
tumor postĂłw: 8070	2013-11-28 21:02:27 No przede wszystkim musisz nauczyć się czytać. Bo te warunki najwyraĹşniej nic dla Ciebie nie znaczÄ . :) 2 i 4 zrobiłem wyĹźej dla obu funkcji. Warunek 1 w praktyce teĹź jest zrobiony przez podanie zbiorĂłw otwartych, ktĂłrych przeciwobrazy nie sÄ otwarte. Bo skoro nie sÄ otwarte, to zawierajÄ jakiś punkt nie naleĹźÄ cy do wnętrza, zatem obraz otoczenia tego punktu będzie wystawał poza otoczenie U punktu f(a). Tylko naprawdę musiałabyś ROZUMIEĆ, o czym ja piszę. A podejrzewam, Ĺźe chętniej byś przepisała zadanie rozwiÄ zane co do litery, Ĺźeby takie przedstawić. --- Gdy ktoś pyta jak sprawdzić, czy ser jest w lodĂłwce, moĹźe mu powiedzieć \"idĹş, otwĂłrz, patrz\". Ale jeśli on patrzy w dobrÄ stronę, a pyta jeszcze, jak ma ZOBACZYĆ, czy ser tam jest, to juĹź z patrzeniem tej osoby nie jest dobrze. Zadanie rozwiÄ załem tak, jak chciałaś. A teraz mnie pytasz jeszcze JAK je zrobić, bo nie widzisz nawet, Ĺźe jest zrobione. Oczywiście pełne rozwiÄ zanie składa się z idei, jej formalnego zapisania i jakiegoś komentarza ułatwiajÄ cego czytanie. Ideę dałem pełnÄ , formalny zapis na kilka sposobĂłw, ale nieco skrĂłcony, natomiast komentarz w jednym przypadku mniejszy, w jednym większy. Jeśli czegoś moĹźe braknÄ Ä‡, to komentarza, ale nie rozumiesz ani idei, ani matematycznego formalizmu. Co ja mam z tym zrobić? UczĹźe się w końcu :)
agusiaczarna22 postĂłw: 106	2013-11-28 21:46:50 No właśnie tak sobie myślałam, Ĺźe te dwa sÄ z tÄ d ale wolałam się upewnić, bo jeśli nie jestem czegoś pewna to wole się dopytać :) A na wykładzie musieliśmy zaprzeczać a ja nie wiem jak zresztÄ jak reszta:) I dlatego wole się upewnić niĹź przepisać i dalej nie wiedzieć:) mam pytanie takie tutaj powinno się robić rysunki czy nie?? Ja oczywiście wole to zrozumieć, ale naprawde nie jest to łatwe jakoś ten przedmiot leĹźy mi ale bardzo bym chciała to umieć, ucze się i uczę i nie mogę tego ogarnÄ Ä‡ :( Miałam podobny problem z logikÄ ale to jakos ogarnęłam wkońcu a tu jest masakra:(
tumor postĂłw: 8070	2013-11-28 21:55:52 Zacznij od podstaw. Od tego, co to otoczenie otwarte. ZbiĂłr otwarty. Kula otwarta. Jest obojętne, czy napiszę $x\in K_e(y,r)$ czy $|x-y|<r$ czy $d_e(x,y)<r$ czy $x-r<y<x+r$ czy $y-r<x<y+r$ To tylko drobne stylistyczne róşnice przy tym samym sensie. W definicji ciÄ głości uĹźywa się róşnych zapisĂłw. Naturalna topologia na R (zwiÄ zana z naturalnÄ , czyli euklidesowÄ , metrykÄ ) odpowiada intuicji. Tam zbiory otwarte sÄ rzeczywiście otwarte, czyli pozbawione brzegĂłw, przeciwnie do domkniętych, ktĂłre majÄ \"szczelny\" brzeg. MĂłwimy zatem o najprostszym i najłatwiej trafiajÄ cym do umysłu przykładzie. Tylko ucz się to czytać! CiÄ głość funkcji przy tej topologii na rysunku wyglÄ da po prostu jak brak przerw, rozerwań. Jak najbardziej intuicyjna ciÄ głość. A definicje i warunki rĂłwnowaĹźne po prostu pozwalajÄ Ĺ‚atwiej ciÄ głość badać i w trudniejszych przypadkach.
agusiaczarna22 postĂłw: 106	2013-11-28 22:02:51 A jeśli chodzi o domknięte zbiory to na tej samej zasadzie jak otwarte tak? A funkcja nieciÄ gła to inaczej mogłabym powiedzieć, Ĺźe to jest zaprzeczenie tym rĂłwnowaĹźnościom i jest to jakaś np. kreska od 1 do 3 na wykresie?Ĺźeby bardziej zrozumieć idee funkcji ciÄ głych to najwaĹźniejsza jest definicja tak?:) Wiadomość była modyfikowana 2013-11-28 22:10:37 przez agusiaczarna22
tumor postĂłw: 8070	2013-11-28 22:15:04 Zbiory domknięte to dopełnienia zbiorĂłw otwartych. Jeśli $A$ jest otwarty, to $X\backslash A$ domknięty. Własności zbiorĂłw domkniętych sÄ w zwiÄ zku z tym analogiczne do zbiorĂłw otwartych. Na przykład suma dowolnej rodziny zbiorĂłw otwartych jest zbiorem otwartym, a przekrĂłj dowolnej rodziny zbiorĂłw domkniętych jest zbiorem domkniętym. W funkcji ciÄ głej przeciwobraz zbioru otwartego jest otwarty, a zarazem przeciwobraz zbioru domkniętego jest domknięty. Wszystko, co da się powiedzieć o zbiorach otwartych, da się tak przeformułować, Ĺźeby mĂłwić o domkniętych. I na odwrĂłt. Na wykładzie podaje się definicję ciÄ głości. JakÄ Ĺ›. JednÄ z kilku. Potem podaje się warunki, ktĂłre sÄ rĂłwnowaĹźne tej definicji. Jest obojętne, ktĂłry się zastosuje, by pokazać ciÄ głość (lub jej brak), bo warunki sÄ rĂłwnowaĹźne, czyli zastosowanie kaĹźdego da ten sam wynik. NiektĂłre stosuje się w konkretnym przypadku łatwiej, inne trudniej, warto mieć trochę wprawy w wyborze właściwego. Funkcje ciÄ głe sÄ waĹźnÄ klasÄ funkcji. MoĹźna na nich wykonywać pewne operacje (a nie na wszystkich funkcjach moĹźna), tworzÄ pewne struktury matematyczne (więc o funkcjach ciÄ głych jako takich da się wnioskować pewne rzeczy). Funkcje ciÄ głe zachowujÄ się w pewnym sensie regularnie (sÄ , powiedzmy, łatwiejsze, od funkcji dalekich od ciÄ głości). W wielu zastosowaniach uĹźywa się funkcji ciÄ głych (ekonomia, fizyka, inĹźynieria, medycyna, statystyka, informatyka,...) ze względu na to, Ĺźe majÄ one wiele zbadanych własności. Pojęcie ciÄ głości jest z pewnościÄ BARDZO waĹźne. Jest obojętne, ktĂłry warunek nazwie się definicjÄ , a ktĂłre uzna za dodatkowe. RĂłwnowaĹźność warunkĂłw oznacza, Ĺźe kaĹźdy z nich jest rĂłwnie dobry.
strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj

© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj