Topologia, zadanie nr 1756
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
agusiaczarna22 post贸w: 106 |  2013-11-30 14:09:57Mam tak膮 funkcj臋: f:$R->R, f(x)=sin \frac{1}{x}$dla $x\neq0$oraz $f(0)=0$ Tu w tym przyk艂adzie mam ju偶 podane: f(0)=0 I musz臋 dobra膰 taki x by by艂o r贸偶ne od zera. To musz臋 inny punkt znale藕膰 tak? I mam jeszcze takie co艣: $f:R^2 ->R: f(x,y)=x$ dla $x>0, y \in R , f(x,y)=y,$ dla $x \le 0, y \in R$ To tutaj x musi by膰 wi臋kszy np.1 i x mniejszy b膮d藕 r贸wny 0 to mog臋 wzi膮膰 0? Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2013-11-30 14:11:37 przez agusiaczarna22 |
tumor post贸w: 8070 | 2013-11-30 22:25:05 Nie wiem, o czym piszesz. :) Pierwsza z tych funkcji jest ci膮g艂a poza 0 i nieci膮g艂a w 0. To taki typowy, modelowy, katowany w ka偶dej grupie przyk艂ad. Druga z tych funkcji jest nieci膮g艂a na osi OY (z wyj膮tkiem punktu (0,0), gdzie jest ci膮g艂a). Je艣li mam co艣 doradzi膰, co masz robi膰, co bra膰 i jak argumentowa膰, musisz mi napisa膰 POLECENIE. :D |
agusiaczarna22 post贸w: 106 | 2013-12-01 11:37:51 To s膮 kolejne dwa przyk艂ady do tego zadania musz臋 z nimi zrobi膰 to samo co z tymi wcze艣niejszymi co Pan napisa艂 :) Czyli zn贸w mam korzystaj膮 z definicji otoczenia typu $\epsilon -\delta$oraz ci膮gowej wykaza膰, 偶e funkcja f nie jest ci膮g艂a.A tak偶e wskaza膰 zbi贸r otwarty G taki, 偶e $f^-1(G)$ nie jest otwarty. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-12-01 12:26:02 U艂a, masz bezpo艣redni kontakt z Panem, to si臋 cz臋艣ciej zdarza艂o dawniej, cho膰 rzadko pisemnie. Ale wracaj膮c z teologii do matematyki: a) $\left\{\begin{matrix} sin\frac{1}{x} \mbox{ dla } x\neq 0 \\ 0 \mbox{ dla } x=0 \end{matrix}\right.$ $x_0=0$, $f(x_0)=0$, we藕my dowolnie $0<\epsilon<1$ W贸wczas dla ka偶dego $\delta>0$ istniej膮 $x\in K(0,\delta)$ takie, 偶e $f(x)>f(0)+\epsilon$ Natomiast z ci膮g贸w: We藕my $x_n=\frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}}\rightarrow 0$, $n\in N^+$ wtedy $sin\frac{1}{x_n}=sin\frac{\pi}{2}=1 \rightarrow 1 \neq f(0)$ We藕my jako $G$ przedzia艂 $(\frac{-1}{2},\frac{1}{2})$. Zauwa偶amy, 偶e $0\in f^{-1}(G)$. Jednak偶e 偶adne otoczenie $U$ punktu $0$ nie spe艂nia $f(U)\subset G$, gdy偶 $f(U)=[-1,1]$, czyli $f^{-1}(G)$ nie spe艂nia definicji otwarto艣ci. ----- Nie wiem o jakim dobieraniu $x$ r贸偶nego od $0$ piszesz w swoim po艣cie. Ta funkcja w $x$ poza $0$ jest ci膮g艂a, zatem dla ka偶dego $\epsilon$ znajdziemy $\delta$, a dla ka偶dego $x_n \rightarrow x$ b臋dzie $f(x_n)\rightarrow f(x)$ i nieci膮g艂o艣ci nie poka偶emy. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2013-12-01 12:30:06 przez tumor |
tumor post贸w: 8070 | 2013-12-01 12:56:16 b) W艂a艣ciwie mog艂aby艣 te偶 co艣 spr贸bowa膰 zrobi膰, prawda? A ja bym tylko sprawdzi艂. Czemu nie robisz?? Ha, pewnie Pan milczy, jak ma pom贸c. Rzutowania s膮 ci膮g艂e. Nieci膮g艂o艣ci b臋dziemy szuka膰 na granicy, tam, gdzie funkcja $f$ najpierw jest rzutowaniem na $x$, potem na $y$. Czyli we藕my $x=0$, $y=1$. $f((0;1))=1$ Ustalmy dowolnie $0<\epsilon<\frac{1}{2}$ W kuli $K((0;1),\epsilon)$ znajduje si臋 punkt $p=(\frac{\epsilon}{2},1)$ dla kt贸rego $f(p)<\frac{1}{2}<f((0;1))-\epsilon$ dla ci膮g贸w: we藕my $(\frac{1}{n},1)\rightarrow (0;1)$. mamy $f((\frac{1}{n},1))=\frac{1}{n}\rightarrow 0 \neq f((0,1))$ No i zbi贸r za $G$ we藕my $(\frac{1}{2};1\frac{1}{2})$ $f((0;1))\in G$, ale dowolne otoczenie $U$ punktu $(0;1)$ nie spe艂nia $f(U)\subset G$, czyli $f^{-1}(G)$ nie jest otwarty. |
| strony: 1 2 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj