Analiza matematyczna, zadanie nr 3716

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
student113 postów: 156	2015-10-26 21:15:33 Oblicz granice ciągów: a) $\lim_{n \to \infty}\sqrt{2}\cdot\sqrt[4]{2}\cdot...\cdot\sqrt[2n]{2}$ b) $\lim_{n \to \infty}\frac{1^2+2^2+...+n^2}{n^3}$ c)$\lim_{n \to \infty}(1-\frac{1}{4})\cdot(1-\frac{1}{9})\cdot...\cdot(1-\frac{1}{n^2})$ Mam takie trzy ciągi i nie wiem do jakiej metody to podpiąć, szczególnie to mnożenie Zrobiłem jeszcze jedną d)$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+...+\frac{n-1}{n^2}=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1+(n-1)}{2}\cdot n}{n^2}=\lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{2}\cdot\frac{1}{n^2}=\frac{1}{2}$ mógłby ktoś to sprawdzić

tumor postów: 8070	2015-10-26 21:25:38 a) zapisać pierwiastki jako potęgi. Potem użyć wzoru na iloczyn potęg o tych samych podstawach. W razie luk w pamięci zapytać gimnazjalistów. b) Suma kwadratów $1^2+2^2+...+n^2$ to wielomian trzeciego stopnia. Można użyć odpowiedniego wzoru, jest podany mniej więcej w połowie rozwiązania http://www.forum.math.edu.pl/temat.php?d=studia&t=3666 Natomiast o wiele lepszy wynik jest na końcu rozwiązania.

tumor postów: 8070	2015-10-26 21:29:36 c) wyrażenia z nawiasów zapisać jako $(\frac{13}{22})(\frac{24}{33})(\frac{35}{44})...$ wszystko prawie się skróci. d) ok.

student113 postów: 156	2015-10-26 21:35:51 Zrobiłem jeszcze jedno ale proszę się nie śmiać i nie wiem może gdzieś być błąd, bo trudno to przepisać e)$\lim_{n \to \infty}\frac{1+2-3+4+5-6+...-3n}{n^2+n+1}=\lim_{n \to \infty0}\frac{\frac{1+(3n-2)}{2}\cdot n+\frac{2+(3n-1)}{2}\cdot n+\frac{-3-3n}{2}\cdot n}{n^2+n+1}=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{3n^2-n}{2}+\frac{3n^2+n}{2}+\frac{-3n^2-3n}{2}}{n^2+n+1}=\lim_{n \to \infty}\frac{3n^2-n+3n^2+n-3n^2-3n}{2(n^2+n+1)}=\lim_{n \to \infty}\frac{3n^2-3n}{2n^2+2n+2}=\lim_{n \to \infty}\frac{n^2(3-\frac{3}{n})}{n^2(2+\frac{2}{n}+\frac{2}{n^2})}=\frac{3}{2}$

tumor postów: 8070	2015-10-26 21:39:42 e) rozumowanie bez zarzutu. Wymnażanie wszystkiego przez n niepotrzebne (to znaczy życie sobie komplikujesz). Wynik dobry. Osobiście liczyłbym inne ciągi: $\frac{1+3n}{2}3n-2\frac{1+3n}{2}*n$

student113 postów: 156	2015-10-26 21:41:12 a)$ \lim_{n \to \infty}2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2n}}$ tylko co dalej?

tumor postów: 8070	2015-10-26 21:52:40 Dodać wykładniki. A co innego? :) Przypominam szereg harmoniczny (czyli ciąg sum częściowych ciągu harmonicznego). To przynajmniej minimalnie wykracza poza gimnazjum. :) Możesz też po pierwsze wyciągnąć $\frac{1}{2}$ przed nawias w wykładniku, zostanie $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+...$ pierwszy wyraz jest większy niż $\frac{1}{2}$, następny jest równy $\frac{1}{2}$. Następne dwa w sumie dają więcej niż $\frac{1}{2}$. Następne 4 dają w sumie więcej niż $\frac{1}{2}$, następne 8 wyrazów daje znów więcej niż $\frac{1}{2}$, i tak dalej i tak dalej. Zatem można też wyrazy ciągu ograniczyć z dołu przez $(\sqrt{2})^{lgn}$, a ten ma dość oczywistą granicę.

student113 postów: 156	2015-10-26 21:55:31 b) ni ma ch... żebym to zrozumiał, ja prosty chop jestem c) no poskraca się ale co z tym dalej, nie mam pojęcia, nigdy nie spotkałem się z takim przykładem, w ogóle nie wiem co zrobić z tym mnożeniem jakieś małe podpowiedzi pls

tumor postów: 8070	2015-10-26 22:07:59 b) możesz użyć gotowca, wzoru na $1^2+2^2+...+n^2$ zamieszczonego w moim rozwiązaniu. Tylko na miejscu wykładowcy spytałbym, skąd ten wzór wziąłeś. :) c) no poskracaj i napisz, co zostało. Poskracaj wszystko, co się da. Nie truj, że się nie spotkałeś z mnożeniem, bo mnożysz ułamki co najmniej od pierwszej klasy gimnazjum, czyli nie mniej niż 6 lat praktyki w tym masz. Albo zawołaj gimnazjalistę na pomoc. Rozumiem, że ja serwuję ideę rozwiązania, która wymaga fantazji jakiejś. Ale samo pomnożenie ułamków wymaga tylko gimnazjalisty i nie należy mnie pytać. Wiadomość była modyfikowana 2015-10-26 22:08:15 przez tumor

student113 postów: 156	2015-10-26 22:10:06 Jeszcze powracając do tego przykładu: $\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt{n}}(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}})=...=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt{n}}(\frac{\sqrt{1}-\sqrt{3}}{-2}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{-2}+...+\frac{\sqrt{2n-1}-\sqrt{2n+1}}{-2} )$ wychodzi mi cos w tym stylu i nie mam pojęcia co dalej :)

strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj