Analiza matematyczna, zadanie nr 3919
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
student113 postów: 156 | 2015-12-01 17:16:34 Obliczyć następujące granice regułą de L'Hospitala (o ile istnieją): a)$\lim_{x \to \infty}\frac{x+cosx}{x-cosx}$= Nie mogę rozpoznać jaki to jest wzór nieokreślony, nie wiem jaka jest granica cosx w nieskończoności, czy w ogóle istnieje? Wiadomość była modyfikowana 2015-12-01 17:20:08 przez student113 |
student113 postów: 156 | 2015-12-01 17:31:35 b) $\lim_{x \to 0}\frac{tgx-sinx}{x^3}=[\frac{0}{0}]=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{cos^2x}-cosx}{3x^2}=\lim_{x \to 0}\frac{cos^{-2}x-cosx}{3x^2}=[\frac{0}{0}]=\lim_{x \to 0}\frac{-2cos^{-3}x*(-sinx)+sinx}{6x}=[\frac{0}{0}]=\lim_{x \to 0}\frac{-6cos^{-4}x*sinx+2cos^{-3}xcosx+cosx}{6}=\frac{1}{2}$ Proszę o sprawdzenie czy dobrze, bo nie mam odpowiedzi do tych przykładów. Wiadomość była modyfikowana 2015-12-01 17:32:24 przez student113 |
student113 postów: 156 | 2015-12-01 17:41:27 c)$\lim_{x \to 0}\frac{lnx}{lnsinx}=\frac{\infty}{\infty}=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{sinx}*cosx}=\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{xcosx}=\frac{0}{0}=\lim_{x \to 0}\frac{cosx}{cosx-xsinx}=1$ |
student113 postów: 156 | 2015-12-01 17:52:40 d)$\lim_{x \to \infty}\frac{\pi-2arctgx}{ln(1+\frac{1}{x})}=\frac{0}{0}=\lim_{x \to \infty}\frac{-2\frac{1}{x^2+1}}{\frac{1}{1+\frac{1}{x}}*(-x^{-2})}=\lim_{x \to \infty}\frac{-2}{x^2+1}*\frac{1+\frac{1}{x}}{-x^{-2}}=\lim_{x \to \infty}\frac{-2-\frac{2}{x}}{-1-(x)^{-2}}=2$ |
student113 postów: 156 | 2015-12-01 18:08:26 e)$\lim_{x \to 1}sin(x-1)*tg\frac{\pi x}{2}=\lim_{x \to 1}\frac{sin(x-1)}{\frac{1}{tg\frac{\pi x}{2}}}=\lim_{x \to 1}\frac{sin(x-1)}{ctg\frac{\pi x}{2}}=\frac{0}{0}=\lim_{x \to 1}\frac{cos(x-1)}{-\frac{1}{sin^2\frac{\pi x}{2}}*\frac{\pi}{2}}=\lim_{x \to 1}\frac{-2cos(x-1)*sin^2\frac{\pi x}{2}}{\pi}=-\frac{2}{\pi}$ |
student113 postów: 156 | 2015-12-01 18:20:22 f) $\lim_{x \to \infty}(x-ln^3x)=\lim_{x \to \infty} x(1-\frac{ln^3x}{x})=$ $\lim_{x \to \infty}\frac{ln^3x}{x}=\frac{\infty}{\infty}=\lim_{x \to \infty}\frac{3ln^2x*\frac{1}{x}}{1}=\lim_{x \to \infty}\frac{3ln^2x}{x}=\frac{\infty}{\infty}=\lim_{x \to \infty}\frac{6lnx*\frac{1}{x}}{1}=\frac{\infty}{\infty}=\lim_{x \to \infty}\frac{6}{x}=0$ $\lim_{x \to \infty}(x-ln^3x)=\lim_{x \to \infty} x(1-\frac{ln^3x}{x})=\infty $ ? |
tumor postów: 8070 | 2015-12-01 21:03:37 a) skoro granica w nieskończoności, to korzystamy z tego, że cosx jest ograniczony. Tw. o trzech ciągach. Oczywista granica 1. Jeśli jesteśmy zmuszeni do de l'H, to $\frac{\infty}{\infty}$, co chyba powinno być jasne. :) b) proponuję zrobić bez de l'Hospitala i jak wyjdzie tak samo, to dobrze. $\frac{tgx-sinx}{x^2}=\frac{sinx}{x}*\frac{1}{cosx} *\frac{1-cosx}{x^2}*\frac{1+cosx}{1+cosx}= \frac{sinx}{x}*\frac{1}{cosx} *\frac{sin^2x}{x^2}*\frac{1}{1+cosx}\to \frac{1}{2} $ c) mamy już znaną granicę $\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x}=1$, wobec czego drugie użycie de l'Hospitala jest niepotrzebne. Wiadomość była modyfikowana 2015-12-01 21:07:45 przez tumor |
student113 postów: 156 | 2015-12-01 21:28:04 Nie wiem dlaczego w pierwszym wychodzi mi -1 mam takie pytanie: $\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x}=1$ to jest pewne ale czy? $\lim_{x \to \infty}\frac{sinx}{x}=1$ Wiadomość była modyfikowana 2015-12-01 21:28:24 przez student113 |
tumor postów: 8070 | 2015-12-01 21:38:26 $ \lim_{x \to \infty}\frac{sinx}{x}=0$ co dość oczywiste, skoro licznik jest ograniczony, a mianownik nieograniczenie rośnie. :) a) ja też nie wiem, jak może wyjść -1 :) Problem polega na tym, że jeśli zastosujesz de l'Hospitala dla takiego przykładu, dostaniesz $\lim_{x \to \infty}\frac{1-sinx}{1+sinx}$, a to nie ma granicy wcale. Reguła de l'Hospitala mówi, że jeśli policzysz te pochodne licznika i mianownika i dla nich GRANICA ISTNIEJE, to jest taka, jak wyjściowa. Ale reguła wcale nie mówi, że ta granica musi istnieć. :) Jeśli BARDZO chcesz użyć na siłę reguły de l'H, to musisz przykład przekształcić. Jak? Nie wiem, nie chce mi się myśleć. Po prostu jakoś go przekształcić, żeby dalej założenia reguły spełniał, ale żeby po jej zastosowaniu powstawało wyrażenie mające granicę. ;) |
student113 postów: 156 | 2015-12-01 21:39:31 g)$\lim_{x \to 0}x^{sinx}=\lim_{x \to 0}e^{sinx ln x}$ $\lim_{x \to 0}sinx ln x=\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{\frac{1}{ln(x)}}=\frac{0}{0}=\lim_{x \to 0}\frac{cosx}{x}=\infty$ g)$\lim_{x \to 0}e^{sinx ln x}=e^{\infty}=\infty$ Tylko że w podręczniku jest odpowiedź 1, czyli raczej mam źle, bo to zwykle ja się myle nie podręcznik |
strony: 1 23 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj