logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3919

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

student113
postów: 156
2015-12-01 17:16:34

Obliczyć następujące granice regułą de L'Hospitala (o ile istnieją):

a)$\lim_{x \to \infty}\frac{x+cosx}{x-cosx}$=

Nie mogę rozpoznać jaki to jest wzór nieokreślony, nie wiem jaka jest granica cosx w nieskończoności, czy w ogóle istnieje?


Wiadomość była modyfikowana 2015-12-01 17:20:08 przez student113

student113
postów: 156
2015-12-01 17:31:35

b) $\lim_{x \to 0}\frac{tgx-sinx}{x^3}=[\frac{0}{0}]=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{cos^2x}-cosx}{3x^2}=\lim_{x \to 0}\frac{cos^{-2}x-cosx}{3x^2}=[\frac{0}{0}]=\lim_{x \to 0}\frac{-2cos^{-3}x*(-sinx)+sinx}{6x}=[\frac{0}{0}]=\lim_{x \to 0}\frac{-6cos^{-4}x*sinx+2cos^{-3}xcosx+cosx}{6}=\frac{1}{2}$

Proszę o sprawdzenie czy dobrze, bo nie mam odpowiedzi do tych przykładów.

Wiadomość była modyfikowana 2015-12-01 17:32:24 przez student113

student113
postów: 156
2015-12-01 17:41:27

c)$\lim_{x \to 0}\frac{lnx}{lnsinx}=\frac{\infty}{\infty}=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{sinx}*cosx}=\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{xcosx}=\frac{0}{0}=\lim_{x \to 0}\frac{cosx}{cosx-xsinx}=1$


student113
postów: 156
2015-12-01 17:52:40

d)$\lim_{x \to \infty}\frac{\pi-2arctgx}{ln(1+\frac{1}{x})}=\frac{0}{0}=\lim_{x \to \infty}\frac{-2\frac{1}{x^2+1}}{\frac{1}{1+\frac{1}{x}}*(-x^{-2})}=\lim_{x \to \infty}\frac{-2}{x^2+1}*\frac{1+\frac{1}{x}}{-x^{-2}}=\lim_{x \to \infty}\frac{-2-\frac{2}{x}}{-1-(x)^{-2}}=2$


student113
postów: 156
2015-12-01 18:08:26

e)$\lim_{x \to 1}sin(x-1)*tg\frac{\pi x}{2}=\lim_{x \to 1}\frac{sin(x-1)}{\frac{1}{tg\frac{\pi x}{2}}}=\lim_{x \to 1}\frac{sin(x-1)}{ctg\frac{\pi x}{2}}=\frac{0}{0}=\lim_{x \to 1}\frac{cos(x-1)}{-\frac{1}{sin^2\frac{\pi x}{2}}*\frac{\pi}{2}}=\lim_{x \to 1}\frac{-2cos(x-1)*sin^2\frac{\pi x}{2}}{\pi}=-\frac{2}{\pi}$


student113
postów: 156
2015-12-01 18:20:22

f) $\lim_{x \to \infty}(x-ln^3x)=\lim_{x \to \infty} x(1-\frac{ln^3x}{x})=$

$\lim_{x \to \infty}\frac{ln^3x}{x}=\frac{\infty}{\infty}=\lim_{x \to \infty}\frac{3ln^2x*\frac{1}{x}}{1}=\lim_{x \to \infty}\frac{3ln^2x}{x}=\frac{\infty}{\infty}=\lim_{x \to \infty}\frac{6lnx*\frac{1}{x}}{1}=\frac{\infty}{\infty}=\lim_{x \to \infty}\frac{6}{x}=0$

$\lim_{x \to \infty}(x-ln^3x)=\lim_{x \to \infty} x(1-\frac{ln^3x}{x})=\infty $ ?


tumor
postów: 8085
2015-12-01 21:03:37

a) skoro granica w nieskończoności, to korzystamy z tego, że cosx jest ograniczony. Tw. o trzech ciągach. Oczywista granica 1.

Jeśli jesteśmy zmuszeni do de l'H, to $\frac{\infty}{\infty}$, co chyba powinno być jasne. :)

b) proponuję zrobić bez de l'Hospitala i jak wyjdzie tak samo, to dobrze.

$\frac{tgx-sinx}{x^2}=\frac{sinx}{x}*\frac{1}{cosx}

*\frac{1-cosx}{x^2}*\frac{1+cosx}{1+cosx}=

\frac{sinx}{x}*\frac{1}{cosx}

*\frac{sin^2x}{x^2}*\frac{1}{1+cosx}\to \frac{1}{2}

$


c) mamy już znaną granicę $\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x}=1$, wobec czego drugie użycie de l'Hospitala jest niepotrzebne.

Wiadomość była modyfikowana 2015-12-01 21:07:45 przez tumor

student113
postów: 156
2015-12-01 21:28:04

Nie wiem dlaczego w pierwszym wychodzi mi -1

mam takie pytanie:

$\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x}=1$ to jest pewne ale czy?
$\lim_{x \to \infty}\frac{sinx}{x}=1$

Wiadomość była modyfikowana 2015-12-01 21:28:24 przez student113

tumor
postów: 8085
2015-12-01 21:38:26

$ \lim_{x \to \infty}\frac{sinx}{x}=0$
co dość oczywiste, skoro licznik jest ograniczony, a mianownik nieograniczenie rośnie. :)

a) ja też nie wiem, jak może wyjść -1 :)

Problem polega na tym, że jeśli zastosujesz de l'Hospitala dla takiego przykładu, dostaniesz
$\lim_{x \to \infty}\frac{1-sinx}{1+sinx}$, a to nie ma granicy wcale.
Reguła de l'Hospitala mówi, że jeśli policzysz te pochodne licznika i mianownika i dla nich GRANICA ISTNIEJE, to jest taka, jak wyjściowa. Ale reguła wcale nie mówi, że ta granica musi istnieć. :)

Jeśli BARDZO chcesz użyć na siłę reguły de l'H, to musisz przykład przekształcić. Jak? Nie wiem, nie chce mi się myśleć. Po prostu jakoś go przekształcić, żeby dalej założenia reguły spełniał, ale żeby po jej zastosowaniu powstawało wyrażenie mające granicę. ;)



student113
postów: 156
2015-12-01 21:39:31

g)$\lim_{x \to 0}x^{sinx}=\lim_{x \to 0}e^{sinx ln x}$

$\lim_{x \to 0}sinx ln x=\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{\frac{1}{ln(x)}}=\frac{0}{0}=\lim_{x \to 0}\frac{cosx}{x}=\infty$

g)$\lim_{x \to 0}e^{sinx ln x}=e^{\infty}=\infty$

Tylko że w podręczniku jest odpowiedź 1, czyli raczej mam źle, bo to zwykle ja się myle nie podręcznik

strony: 1 23

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 9 drukuj