logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3919

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

tumor
postów: 8070
2015-12-01 21:44:43

g) a możesz mi opowiedzieć, jak liczysz pochodną z$ \frac{1}{lnx}$?

Podpowiem: lepiej w drugą stronę przekształcić, $\frac{lnx}{\frac{1}{sinx}}$


student113
postów: 156
2015-12-01 21:45:39

Jedno pytanko do pierwszego, ostrzegam może być głupie , czytasz na własną odpowiedzialność:


Skąd wiadomo że $\lim_{x \to \infty}\frac{1-sinx}{1+sinx}$ to nie ma granicy, tylko spokojnie

Wiadomość była modyfikowana 2015-12-01 21:49:12 przez student113

tumor
postów: 8070
2015-12-01 21:56:44

Przypomnij sobie definicję granicy. Obojętne którą.

Wyrażenie $\frac{1-sinx}{1+sinx}$ przyjmuje wartość 0 dla x równego $\frac{\pi}{2}+2k\pi$. k jest dowolnie duże, zatem dowolnie "daleko w prawo" wyrażenie to przyjmuje między innymi wartość 0.

Zarazem jednak przyjmuje wartość $1$ dla $x=k\pi$.
Nie spełnia zatem definicji granicy (właściwej i niewłaściwej).



student113
postów: 156
2015-12-01 22:22:03

Sprawdź czy to dobrze, proszę:

$\lim_{x \to 0}(arcsinx)^{sinx}=\lim_{x \to 0}e^{sinx ln(srcsinx)}$

$\lim_{x \to 0}sinx ln(srcsinx)=\lim_{x \to 0}\frac{ln(arcsinx)}{\frac{1}{sinx}}=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{arcsinx*\sqrt{1-x^2}}}{\frac{-cosx}{sin^2x}}=\lim_{x \to 0}\frac{-sin^2x}{arcsinx\sqrt{1-x^2}*cosx}=\frac{0}{0}=\lim_{x \to 0}\frac{-2sinxcosx}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}*\sqrt{1-x^2}*cosx+arcsinx*(\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}*(-2x)+\sqrt{1-x^2}*(-sinx))}=0$
$e^0=1$


tumor
postów: 8070
2015-12-01 22:39:02

Wynik mi się zgadza. Ostatnia pochodna jest taka długa, że nie będę tego czytał. Dziś się nie czyta takich długich tekstów.

Zaproponuję jednak prostsze rozwiązanie,
$\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{arcsinx}=\frac{0}{0}=\lim_{x \to 0}\frac{cosx}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}=1$

A tego można tam w środku użyć.


student113
postów: 156
2015-12-01 22:54:16

h)$\lim_{x \to 1}\frac{ln(x)-1}{x-1}=-\infty$ ?

Nie wiem czy to taki prosty przykład, czy czegoś nie zauważyłem

Jeszcze jeno, jak mam obliczyć pochodną z trzech mnożeń to wybieram jedną i rozpisuje według wzoru, traktując pozostałe jakby były jedną funkcją, a następnie po plusie w nawiasie rozpisuje dwie pozostałe funkcje ze wzoru


tumor
postów: 8070
2015-12-01 23:01:46

h) na pewno nie zauważyłeś, że różne są granice jednostronne.

Może też w tym przykładzie autor chciał zrobić $\frac{lnx}{x-1}$ tylko coś pomieszał, nie wiem. W takim przykładzie jak napisałeś liczymy oddzielnie granice jednostronne.

Co do drugiego pytania: tak

$(f(x)g(x)h(x))`=f`(x)g(x)h(x)+f(x)(g(x)h(x))`$


student113
postów: 156
2015-12-01 23:05:14

f)$\lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{x^2-1}}=\lim_{x \to 1}e^{\frac{2}{x^2-1}*lnx}=e^1=e$

$\lim_{x \to 1}\frac{2}{x^2-1}*lnx=\lim_{x \to 1}\frac{lnx}{\frac{x^2-1}{2}}=\frac{0}{0}=\lim_{x \to 1}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{4x}{4}}=1$


student113
postów: 156
2015-12-01 23:12:03

i)$\lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{\sqrt{arctg(\frac{1}{x})}}$

Gdy rozbije to na dwa ułamki wychodzi $\infty-\infty$, jak spróbuje coś wyciągnąć przed nawias to nic mi nie wychodzi. Nie mam pomysłu na ten przykład.


student113
postów: 156
2015-12-01 23:18:45

j) $\lim_{x \to 0}(e^x+x)^{\frac{1}{x}}=e^2$

$\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}ln(e^x+x)=\lim_{x \to 0}\frac{ln(e^x+x)}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{e^x+x}(e^x+1)}{1}=\lim_{x \to 0}\frac{e^x+1}{e^x+x}=2$

strony: 1 2 3

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 17 drukuj