Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 4144

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
blackhorseman postów: 64	2016-01-20 19:51:23 Dzień dobry, Proszę o pomoc w rozwiązaniu następujących dwóch przykładów,w miarę szybko jeżeli to możliwe bo kolokwium zaliczeniowe za 2 dni :). Treść zadania: Zbadać różniczkowalność podanych funkcji we wskazanych punktach: a) f(x)={\begin{matrix} (x+1)(x-2)^2, x\in[-1,2] \\ 0, x\in(-\infty,-1)\cup(2,\infty) \end{matrix} b) f(x) = x^{2}+\|x^{2}-4\|, x=2 Będę b. wdzięczny za pomoc :).

blackhorseman postów: 64	2016-01-20 20:00:58 Dodam, że musimy wykorzystać następujący wzór (def. pochodnej) f'(x0)=[f(x0+h)-f(x0)]/h

tumor postów: 8070	2016-01-20 20:29:35 Policz dla obu przykładów granice $\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$, oddzielnie prawo- i lewostronne. a) $x_0=-1$ oraz $x_0=2$ b) $x_0=2$ Dla przykładu a) $x_0=-1$, granica prawostronna $\lim_{h \to 0+}\frac{h(h-3)^2}{h}=9$

blackhorseman postów: 64	2016-01-20 20:35:44 Dzięki, będę próbował :). Odezwę się jak coś mi już wyjdzie :)

blackhorseman postów: 64	2016-01-20 20:56:16 A to nie jest tak, że dla przykładu a) tam gdzie mam przedział [-1,2] to mam liczyć granicę dla -1 z prawej strony a dla 2 z lewej ?

tumor postów: 8070	2016-01-20 21:04:17 Nie, to nie jest tak. Dla obu miejsc z obu stron.

blackhorseman postów: 64	2016-01-20 23:53:08 Czy ten podpunkt a) ma tak wyglądać: prawostronna $f'(-1)=\lim_{h \to 0}\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{h(h-3)^2}{h}=9$ lewostronna $f'(-1)=\lim_{h \to 0}\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{0-0}{h}=0$ prawostronna $f'(2)=\lim_{h \to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{0-0}{h}=0$ lewostronna $f'(2)=\lim_{h \to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{h^2(h+3)-0}{h}=3$ Pochodne w danych punktach mają różne wartości, zatem funkcja nie jest różniczkowalna w tych punktach. Dobrze, czy coś źle zrobiłem ? Zapis może być ?

tumor postów: 8070	2016-01-21 09:06:55 Teraz poprawimy oznaczenia. Lewostronną możemy oznaczać tak: $\lim_{x \to 0-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ a prawostronną $\lim_{x \to 0+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ Nie policzyłeś dobrze pochodnej lewostronnej w $x=2$. Licznik i mianownik skrócimy przez h, co zostanie? --- Natomiast wnioskowanie będzie właśnie takie: różne granice jednostronne oznaczać będą nieistnienie granicy, czyli brak pochodnej. Identyczne granice jednostronne oznaczać będą istnienie granicy, czyli istnienie pochodnej w sprawdzanych puntach. Poza sprawdzanymi punktami funkcja jest różniczkowalna jako wielomian. Wiadomość była modyfikowana 2016-01-21 09:08:21 przez tumor

blackhorseman postów: 64	2016-01-21 10:04:53 Jeszcze raz dziękuję za pomoc i zainteresowanie :). Co do oznaczeń lewostronnych i prawostronnych to wiem, że się tak oznacza, ale miałem kłopoty z napisaniem tego na forum. Myślę, że już wiem jak oznaczyć ten "-" i "+" :). A co do zadania: 1. Granica lewostronna w pkt 2 powinna wynosić 0, czyli w pkt 2 jest pochodna o wartości 0 i f. w tym punkcie jest różniczkowalna - taka odpowiedź jest dobra ? 2. Nie jestem pewien co do poprawności zapisu granicy prawostronnej w pkt 2. Czy można to zapisać jak zapisałem wyżej, a mianowicie (0-0)/h ? 3. W przykładzie b), o którym pisałem na początku, po opuszczeniu wartości bezwzględnej dla x<2 też funkcja ma wartość f(x)=4 i teraz pytanie jak wyżej. Jak poprawnie to zapisać - (4-4)/h ?

tumor postów: 8070	2016-01-21 11:10:56 1. Tak 2. Tak. W przypadku granicy prawostronnej w x=2 i w przypadku lewostronnej dla x=-1 trzeba zapisać właśnie $\frac{0-0}{h}$. 3. Jeśli $x\ge 2$, to $f(x)=x^2+x^2-4=2x^2-4$ natomiast dla x nieco mniejszych niż 2 (dokładnie: z przedziału $(-2,2)$) jest $f(x)=4$ Najwyraźniej dziwi Cię, że nie pojawia się tam h. W granicy prawostronnej funkcja zależy od h, będzie $2(2+h)^2-4$ ale w granicy lewostronnej f(x) jest stała równa 4, wobec czego $f(x_0+h)=4$ niezależnie od h (oczywiście h małego) Wiadomość była modyfikowana 2016-01-21 11:19:05 przez tumor

strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj