logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 4144

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

blackhorseman
postów: 64
2016-01-20 19:51:23

Dzień dobry,

Proszę o pomoc w rozwiązaniu następujących dwóch przykładów,w miarę szybko jeżeli to możliwe bo kolokwium zaliczeniowe za 2 dni :).
Treść zadania:
Zbadać różniczkowalność podanych funkcji we wskazanych punktach:
a) f(x)={\begin{matrix} (x+1)(x-2)^2, x\in[-1,2] \\ 0, x\in(-\infty,-1)\cup(2,\infty) \end{matrix}

b) f(x) = x^{2}+|x^{2}-4|, x=2

Będę b. wdzięczny za pomoc :).


blackhorseman
postów: 64
2016-01-20 20:00:58

Dodam, że musimy wykorzystać następujący wzór (def. pochodnej) f'(x0)=[f(x0+h)-f(x0)]/h


tumor
postów: 8070
2016-01-20 20:29:35

Policz dla obu przykładów granice

$\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$, oddzielnie prawo- i lewostronne.

a) $x_0=-1$ oraz $x_0=2$

b) $x_0=2$

Dla przykładu
a) $x_0=-1$, granica prawostronna
$\lim_{h \to 0+}\frac{h(h-3)^2}{h}=9$


blackhorseman
postów: 64
2016-01-20 20:35:44

Dzięki, będę próbował :). Odezwę się jak coś mi już wyjdzie :)


blackhorseman
postów: 64
2016-01-20 20:56:16

A to nie jest tak, że dla przykładu a) tam gdzie mam przedział [-1,2] to mam liczyć granicę dla -1 z prawej strony a dla 2 z lewej ?


tumor
postów: 8070
2016-01-20 21:04:17

Nie, to nie jest tak. Dla obu miejsc z obu stron.


blackhorseman
postów: 64
2016-01-20 23:53:08

Czy ten podpunkt a) ma tak wyglądać:

prawostronna $f'(-1)=\lim_{h \to 0}\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{h(h-3)^2}{h}=9$
lewostronna $f'(-1)=\lim_{h \to 0}\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{0-0}{h}=0$

prawostronna $f'(2)=\lim_{h \to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{0-0}{h}=0$
lewostronna $f'(2)=\lim_{h \to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{h^2(h+3)-0}{h}=3$

Pochodne w danych punktach mają różne wartości, zatem funkcja nie jest różniczkowalna w tych punktach.

Dobrze, czy coś źle zrobiłem ? Zapis może być ?


tumor
postów: 8070
2016-01-21 09:06:55

Teraz poprawimy oznaczenia. Lewostronną możemy oznaczać tak:
$\lim_{x \to 0-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
a prawostronną
$\lim_{x \to 0+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Nie policzyłeś dobrze pochodnej lewostronnej w $x=2$.
Licznik i mianownik skrócimy przez h, co zostanie?

---

Natomiast wnioskowanie będzie właśnie takie:
różne granice jednostronne oznaczać będą nieistnienie granicy, czyli brak pochodnej.

Identyczne granice jednostronne oznaczać będą istnienie granicy, czyli istnienie pochodnej w sprawdzanych puntach.

Poza sprawdzanymi punktami funkcja jest różniczkowalna jako wielomian.

Wiadomość była modyfikowana 2016-01-21 09:08:21 przez tumor

blackhorseman
postów: 64
2016-01-21 10:04:53

Jeszcze raz dziękuję za pomoc i zainteresowanie :).

Co do oznaczeń lewostronnych i prawostronnych to wiem, że się tak oznacza, ale miałem kłopoty z napisaniem tego na forum. Myślę, że już wiem jak oznaczyć ten "-" i "+" :).

A co do zadania:
1. Granica lewostronna w pkt 2 powinna wynosić 0, czyli w pkt 2 jest pochodna o wartości 0 i f. w tym punkcie jest różniczkowalna - taka odpowiedź jest dobra ?
2. Nie jestem pewien co do poprawności zapisu granicy prawostronnej w pkt 2. Czy można to zapisać jak zapisałem wyżej, a mianowicie (0-0)/h ?
3. W przykładzie b), o którym pisałem na początku, po opuszczeniu wartości bezwzględnej dla x<2 też funkcja ma wartość f(x)=4 i teraz pytanie jak wyżej. Jak poprawnie to zapisać - (4-4)/h ?


tumor
postów: 8070
2016-01-21 11:10:56

1. Tak
2. Tak. W przypadku granicy prawostronnej w x=2 i w przypadku lewostronnej dla x=-1 trzeba zapisać właśnie $\frac{0-0}{h}$.

3.

Jeśli $x\ge 2$, to
$f(x)=x^2+x^2-4=2x^2-4$
natomiast dla x nieco mniejszych niż 2 (dokładnie: z przedziału $(-2,2)$) jest
$f(x)=4$

Najwyraźniej dziwi Cię, że nie pojawia się tam h.
W granicy prawostronnej funkcja zależy od h, będzie
$2(2+h)^2-4$
ale w granicy lewostronnej f(x) jest stała równa 4, wobec czego
$f(x_0+h)=4$ niezależnie od h (oczywiście h małego)

Wiadomość była modyfikowana 2016-01-21 11:19:05 przez tumor
strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 69 drukuj