Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 4144
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
blackhorseman postów: 64 | 2016-01-21 16:21:45 Czyli ten przykład b) może wyglądać tak: $f(x)=x^{2}+|x^{2}-4|, x_0=2$ $|x^{2}-4|=\left\{\begin{matrix} x^{2}-4, x\ge2 \\ -(x^{2}-4), x<2 \end{matrix}\right.$ $f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{2}+x^{2}-4, x\ge2 \\ x^{2}-x^{2}+4, x<2 \end{matrix}\right.$ $f(x)=\left\{\begin{matrix} 2x^{2}-4, x\ge2 \\ 4, x<2 \end{matrix}\right.$ $f'_+(2)=lim_h\rightarrow0 \frac{f(2+h)-f(2)}{h} = f'_+(2)=lim_h\rightarrow0 \frac{2(2+h)^2-4-(2\cdot2^2-4)}{h}$ $f'_+(2)=lim_h\rightarrow0\frac{8+8h+2h^2-8}{h}=f'_+(2)=lim_h\rightarrow0\frac{h(2h+8)}{h}=2h+8=8$ $f'_-(2)=lim_h\rightarrow0 \frac{4-4}{h}=0$ Odp.: Granica lewostronna jest różna od prawostronnej, zatem funkcja f w punkcie x0=2 nie jest różniczkowalna. P.S. Muszę się upewnić :) - czy ten zapis granicy (4-4)/h na pewno ma tak wyglądać ? Mamy prowadzącą, która potrafi nie zaliczyć zadania za takie szczegóły. |
tumor postów: 8070 | 2016-01-22 10:49:51 Mały błąd jest w granicy prawostronnej, póki w zapisie jest h, trzeba pisać granicę, czyli $=\lim_{h \to 0+}2h+8=8$ Jeśli chodzi o granicę lewostronną, to ma tak wyglądać, tylko jeśli prowadząca się czepia, to rozpisujemy to trochę bardziej $\lim_{h \to 0-}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}= \lim_{h \to 0-}\frac{4-(2*2^2-4)}{h}= \lim_{h \to 0-}\frac{4-4}{h}= \lim_{h \to 0-}\frac{0}{h}=0$ I faktycznie, wobec różnych granic jednostronnych funkcja nie jest różniczkowalna. ---- Brak różniczkowalności w punkcie $x_0$ można uzasadnić: a) brakiem ciągłości w $x_0$ b) różnymi granicami jednostronnymi ilorazu różnicowego c) nieistnieniem co najmniej jednej granicy jednostronnej ilorazu różnicowego (Przy tym mimo nieistnienia pochodnej w punkcie można wciąż rozważać pochodne jednostronne w punkcie, czyli granice jednostronne ilorazu różnicowego) Przypominam o tym tak na wszelki wypadek, nie zawsze koniecznie trzeba sprawdzić obie granice jednostronne, czasem wnioski możemy uzyskać bez tego. |
blackhorseman postów: 64 | 2016-01-22 10:59:30 Dziękuję bardzo :) |
blackhorseman postów: 64 | 2016-01-22 10:59:32 Dziękuję bardzo :) |
strony: 1 2 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj