logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 4144

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

blackhorseman
postów: 64
2016-01-21 16:21:45

Czyli ten przykład b) może wyglądać tak:

$f(x)=x^{2}+|x^{2}-4|, x_0=2$
$|x^{2}-4|=\left\{\begin{matrix} x^{2}-4, x\ge2 \\ -(x^{2}-4), x<2 \end{matrix}\right.$
$f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{2}+x^{2}-4, x\ge2 \\ x^{2}-x^{2}+4, x<2 \end{matrix}\right.$
$f(x)=\left\{\begin{matrix} 2x^{2}-4, x\ge2 \\ 4, x<2 \end{matrix}\right.$
$f'_+(2)=lim_h\rightarrow0 \frac{f(2+h)-f(2)}{h} = f'_+(2)=lim_h\rightarrow0 \frac{2(2+h)^2-4-(2\cdot2^2-4)}{h}$
$f'_+(2)=lim_h\rightarrow0\frac{8+8h+2h^2-8}{h}=f'_+(2)=lim_h\rightarrow0\frac{h(2h+8)}{h}=2h+8=8$

$f'_-(2)=lim_h\rightarrow0 \frac{4-4}{h}=0$

Odp.: Granica lewostronna jest różna od prawostronnej, zatem funkcja f w punkcie x0=2 nie jest różniczkowalna.

P.S. Muszę się upewnić :) - czy ten zapis granicy (4-4)/h na pewno ma tak wyglądać ? Mamy prowadzącą, która potrafi nie zaliczyć zadania za takie szczegóły.




tumor
postów: 8070
2016-01-22 10:49:51

Mały błąd jest w granicy prawostronnej, póki w zapisie jest h, trzeba pisać granicę, czyli
$=\lim_{h \to 0+}2h+8=8$

Jeśli chodzi o granicę lewostronną, to ma tak wyglądać, tylko jeśli prowadząca się czepia, to rozpisujemy to trochę bardziej

$\lim_{h \to 0-}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=
\lim_{h \to 0-}\frac{4-(2*2^2-4)}{h}=
\lim_{h \to 0-}\frac{4-4}{h}=
\lim_{h \to 0-}\frac{0}{h}=0$

I faktycznie, wobec różnych granic jednostronnych funkcja nie jest różniczkowalna.

----

Brak różniczkowalności w punkcie $x_0$ można uzasadnić:
a) brakiem ciągłości w $x_0$
b) różnymi granicami jednostronnymi ilorazu różnicowego
c) nieistnieniem co najmniej jednej granicy jednostronnej ilorazu różnicowego
(Przy tym mimo nieistnienia pochodnej w punkcie można wciąż rozważać pochodne jednostronne w punkcie, czyli granice jednostronne ilorazu różnicowego)
Przypominam o tym tak na wszelki wypadek, nie zawsze koniecznie trzeba sprawdzić obie granice jednostronne, czasem wnioski możemy uzyskać bez tego.


blackhorseman
postów: 64
2016-01-22 10:59:30

Dziękuję bardzo :)


blackhorseman
postów: 64
2016-01-22 10:59:32

Dziękuję bardzo :)

strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj