logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Teoria mnogości, zadanie nr 4399

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 863
2016-03-17 21:21:51

Naszkicuj w układzie współrzednych wykres nastepujacej funkcji zdaniowej:
{$<$x,y$>$$\in$$R^{2}$: istnieje t takie, ze x*t=y}.

Czy to t mam wybrac jakie chce? np. t=3 i narysowac y=3x?


tumor
postów: 8070
2016-03-17 21:40:19

Nie masz wybrać jednego t. Masz zaznaczyć wszystkie pary (x,y) dla których istnieje odpowiednie t.

(możesz oczywiście wybrać jakieś t, narysować wykres, potem inne t, znów narysować wykres, potem jeszcze inne t, narysować wykres, ale za każdym razem gdy tak idę z nieskończonością, to mi za wiele czasu zajmuje, dlatego wybieram metody sprytniejsze)

Wiadomość była modyfikowana 2016-03-17 21:42:52 przez tumor

geometria
postów: 863
2016-03-17 21:48:48

A jaka w tym przypadku jest dobra?


tumor
postów: 8070
2016-03-17 21:59:21

Podzielić obustronnie przez x.
$t=\frac{y}{x}$ czyli znajdziemy t dla wszystkich par x,y, dla których to działanie jest wykonalne. A nie dla wszystkich jest.

Przypadki, gdy dzielenie przez x nie jest wykonalne, rozpatrujemy oddzielnie. Jaki wówczas jest x? Jaki musi być y?

-----

Ale miałem trochę czasu i narysowałem sobie nieskończenie wiele wykresów funkcji liniowych. Wynik taki sam, ale ołówek stępiony.


geometria
postów: 863
2016-03-17 22:28:35

1. x$\neq$0 i y$\in$$R$
Rysunkiem bedzie plaszczyzna R$\times$R$\backslash${$<$0,y$>$}(bez prostej x=0)
2. gdy x=0 i y$\in$$R$ dzialanie jest niewykonalne. Wydaje mi sie, ze bedzie zbior pusty.
1$\cup$2=1 ostatecznie.


tumor
postów: 8070
2016-03-17 22:38:27

2. Wyjdź od $xt=y$.
Teraz $x=0$ (bo dla $x\neq 0$ masz poprawnie rozwiązany przypadek 1.)
Czyli $0t=y$
czyli
$0=y$
Zatem musisz do swoje płaszczyzny bez prostej dodać jeszcze punkt (0,0).

------

Wracając do rysowania nieskończenie wielu wykresów. Będą to wszystko wykresy funkcji liniowych $y=tx$, czyli przechodzących przez (0,0), prostych ukośnych lub poziomych, ale nie prostych pionowych.
Wobec tego oczywiście (0,0) należy do co najmniej jednego z tych wykresów, oraz dowolna para (x,y) gdzie $x\neq 0$ też należy do co najmniej jednego z tych wykresów. Natomiast (0,y), gdzie $y\neq 0$, już do żadnego nie należy.


geometria
postów: 863
2016-03-17 23:15:41

Czyli przypadek 1 $\cup$(0,0).

A taka funkcja zdaniowa:
{(x,y)$\in$$R^{2}$: x<|y|$\Rightarrow$y=4x}

Wydaje mi sie, ze nalezy rozpatrzec trzy przypadki, dla ktorych ta implikacja jest prawdziwa i ostatecznym rysunkiem bedzie suma tych trzech przypadkow.
Ostatecznie wyszlo mi, ze ten rysunek to cala plaszczyzna.
Np. dla prawdziwego poprzednika i nastepnika zrobilem tak:
|y|>x$\Rightarrow$y=4x
jesli y<-x lub y>x, to y=4x
i narysowalem na jednej plaszczyznie wlasnie y<-x, y>x, y=4x.
Dla pozostalych przypadkow podobnie.
---
Ale zrobilem rowniez tak:
Skorzystalem z prawa eliminacji implikacji, czyli wyszlo tak:
|y|$\le$x $\vee$y=4x i narysowalem to ale porownujac to z rysunkiem po tych trzech przypadkach to wyszlo co innego.


tumor
postów: 8070
2016-03-18 07:30:21

Wypada sobie trochę liceum odświeżyć.

Przypadki wystarczą dwa. Jeden, gdy poprzednik implikacji jest prawdziwy (i wówczas następnik też) i jeden, gdy poprzednik jest fałszywy (wówczas nie ma sensu dzielić tego na dwa przypadki zależnie od następnika, bo OBOJĘTNE jaki jest następnik).

a) Jeśli $x<\mid y\mid$
to rzeczywiście y>x lub y<-x
Nierówność y>x oznacza wszystko ponad prostą y=x
Nierówność y<-x oznacza wszystko pod prostą y=-x
Mamy LUB, wobec tego rysujemy sumę rozwiązań. Jednakże w tej sumie nie interesują nas dowolne pary. Tam MUSI być też spełniony następnik.
Zatem w tym obszarze, który właśnie zaznaczyliśmy, rysujemy prostą y=4x. Po pierwsze rysujemy tylko w tym obszarze, po drugie tylko ta prosta nas w tym obszarze interesuje. Kolorem czerwonym, żeby się wyraźnie odznaczała. Bowiem teraz mamy
(y>x lub y<-x) i y=4x
Czyli ma być spełniony co najmniej jeden z warunków w nawiasie oraz koniecznie ten poza nawiasem.

b) jeśli nie jest spełniona nierówność $x<\mid y \mid$, to jesteśmy w obszarze, który w a) zaznaczony nie został, tam nie ma dodatkowych warunków nałożonych na x,y, wobec tego cała ta część płaszczyzny jest rozwiązaniem.

----

Można też było zamienić implikację na alternatywę.
Wówczas będzie
$x\ge \mid y \mid \vee y=4x$
Czyli rozwiązujemy teraz po prostu dwa przypadki (człony alternatywy) i zaznaczamy sumę rozwiązań w układzie. Znów będzie to wycinek płaszczyzny zadany dwiema półprostymi oraz jedna prosta w pozostałej części układu.


geometria
postów: 863
2016-03-18 10:29:07

Dziekuje.


geometria
postów: 863
2016-03-19 00:21:29

{(x,y)$\in$$R^{2}$:x<|y|$\iff$y=4x}
Po eliminacji rownowaznosci:
(x$\ge$|y|$\vee$y=4x)$\wedge$(y$\neq$4x$\vee$x<|y|)
Ostatecznie wykresem tej funkcji zdaniowej bedzie prosta y=4x bez punktu (0,0) i obszar x>|y|.

Niech ten wykres to A.
$A_{x}$ to ciecie pionowe
$A^{y}$ to ciecie poziome
Wowczas:
$\pi_{x}$[A]=$R\backslash${0}
$\pi^{y}$[A]=$R$
$A^{-5}$=(5;+$\infty$)$\cup${-$\frac{5}{4}$}
$A_{5}$=(-5;5)$\cup${20}
$A_{0}$=$\emptyset$
$A^{0}$=(0;+$\infty$)
$A^{2}$=(2;+$\infty$)$\cup${$\frac{1}{2}$}
$A_{2}$=(-2;2)$\cup${8}
$A_{-4}$={-16}
$A^{-4}$=(4;+$\infty$)$\cup${-1}

Poprosilbym o sprawdzenie.

strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj