Topologia, zadanie nr 4412

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
tumor postów: 8070	2016-03-23 14:20:15 Zatem kolejno: Zbiór otwarty $A$ to taki, że dla $x\in A$ istnieje kula $K(x,r)\subset A$ o dodatnim promieniu. Zbiór domknięty to taki, którego dopełnienie jest otwarte. Kule otwarte są otwarte, dla $y\in K(x,r_x)$ wystarczy wziąć $r_y=\frac{r_x-d(x,y)}{2}$ i wtedy $K(y,r_y)\subset K(x,r_x)$. Wnętrzem zbioru A nazywamy sumę zbiorów otwartych zawartych w A, natomiast domknięciem zbioru B nazywamy przekrój zbiorów domkniętych zawierających B. Wniosek: każdy zbiór otwarty daje się opisać jako suma kul otwartych. Wnętrze zbioru jest zbiorem otwartym. Wnętrze zbioru otwartego A jest zbiorem A. Domknięcie zbioru jest zbiorem domkniętym, domknięcie zbioru domkniętego B jest zbiorem B. Wnętrze A jest podzbiorem A, B jest podzbiorem domknięcia B. Jeśli $U$ jest otwarty, to daje się zapisać jako pewna suma $\bigcup K(x,r)$ (może to być suma po wszystkich $x\in U$ i dopasowanych do nich $r(x)$), zatem z praw de Morgana zbiór $X\backslash U$ daje się zapisać jako $\bigcap (X\backslash K(x,r))$. Twierdzimy, że $U=int A$ wtedy i tylko wtedy, gdy $U`=cl A`$. Dowód Oczywiście $U\subset A \iff A`\subset U`$, $U$ otwarty $\iff$ $U`$ domknięty. $U$ jest sumą rodziny zbiorów otwartych $R \iff U`$ jest przekrojem rodziny $P$ zbiorów domkniętych będących dopełnieniami zbiorów z $R$. Ponadto $R$ jest rodziną wszystkich zbiorów otwartych zawartych w $\iff$ $P$ jest rodziną wszystkich zbiorów domkniętych zawierających $A`$.

strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj