Teoria mnogości, zadanie nr 4464

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
geometria postów: 865	2016-04-15 20:27:51 Narysuj wykres funkcji zdaniowych. a) ($\exists_{z}$)($x^{2}+y^{2}+z^{2}$=1) $z^{2}$=1$-$$x^{2}-y^{2}$, zeby istnial taki $z$ (dla dowolnych x, y), to 1$-$$x^{2}-y^{2}$$\ge$0, czyli $x^{2}+y^{2}$$\le$1. Wykresem bedzie kolo o promieniu 1. b) ($\forall_{z}$)($x^{2}+y^{2}+z^{2}$=1) $z^{2}$=1$-$$x^{2}-y^{2}$, ale to nie bedzie prawdziwe dla kazdego $z$ (przy dowolnych x, y) (nie bedzie prawdziwe, gdy 1$-$$x^{2}-y^{2}$<0, czyli dla $x^{2}+y^{2}$>1) Zatem szukamy kontrprzykladu. Np. z=2, wtedy $x^{2}+y^{2}$=$-$3 (a to nieprawda dla dowolnych x, y). Wykresem bedzie zbior pusty. c) ($\forall_{z}$)($x^{2}+y^{2}+z^{2}$>1) $z^{2}$>1$-$$x^{2}-y^{2}$ i dalej mam problem w ocenieniu czy to jest prawdziwe dla kazdego $z$.

tumor postów: 8070	2016-04-15 21:31:15 a) tak b) tak, przykład z=2 jest wystarczający dla argumentacji. c) zauważ, że wszystkie punkty poza kołem z a) spełniają c) ich współrzędne spełniają $x^2+y^2>1$, wobec tego dodanie jakiegokolwiek $z^2$ nic nie zmieni. Dla punktów z koła dodanie $z^2=0$ przeczyłoby dużemu kwantyfikatorowi. Wiadomość była modyfikowana 2016-04-15 22:55:47 przez tumor

geometria postów: 865	2016-04-15 22:12:40 Nie rozumiem ostatniego zdania.

geometria postów: 865	2016-04-16 09:15:52 Dziekuje. d) $\exists_{z}$(\|z\|<1 $\wedge$ x=2y+z) z$\in$(-1,1) y=$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}z$ Wykresem bedzie obszar miedzy prostymi y=$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$ i y=$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$ bez tych prostych. e) $\exists_{t}$($x=t^{2}\wedge y=t^{3}+1$) $t^{2}=x$; $x\ge0$ $\|t\|=\sqrt{x}$ $t=-\sqrt{x} \vee t=\sqrt{x}$ Zatem $y=(-\sqrt{x})^{3}+1; x\ge0$ oraz $y=(\sqrt{x})^{3}+1; x\ge0 $ i to beda te wykresy.

tumor postów: 8070	2016-04-18 12:32:58 d) ok e) ok

geometria postów: 865	2016-04-18 14:54:02 f) $\forall_{t}$(x=$t^{2}\Rightarrow y=t^{3}+1)$ 1. x<0 implikacja prawdziwa dla kazdego t. Wykres to polplaszczyzna x<0. 2. x=0 implikacja prawdziwa dla kazdego t. Wykresem bedzie punkt (0,1). 3. x>0 implikacja nieprawdziwa dla kazdego t (nie ma wykresu) Ostatecznie wykres to polplaszczyzna x<0 wraz z punktem (0,1).

geometria postów: 865	2016-04-18 15:05:06 g) $\exists_{z}$($1<z<2 \wedge 2<x^{2}+y^{2}+z^{2}<8$) $1<z<2 /()^{2}$ $1<z^{2}<4$ $\left\{\begin{matrix} 2<x^{2}+y^{2}+z^{2}<8 \\ 1<z^{2}<4 \end{matrix}\right.$ (od pierwszego odejmuje drugie), czyli otrzymuje $1<x^{2}+y^{2}<4$. I to bedzie ten wykres.

tumor postów: 8070	2016-04-18 15:07:21 f) 1. ok. Mamy tylko t nie spełniające poprzednika 2. Jeśli x=0, to implikacja prawdziwa dla każdego t tylko, jeśli y=1. Jeśli x=0 i $y\neq 1$, to implikacja prawdziwa tylko dla $t\neq 0$, nieprawdziwa dla t=0. 3. Jeśli x>0, to dla wszystkich t poza dwoma implikacja ma poprzednik fałszywy (wtedy jest prawdziwa). Natomiast dla dwóch t ma poprzednik prawdziwy. Nie może mieć jednak dla obu prawdziwego następnika. Zatem dla co najmniej jednego t następnik jest fałszywy.

geometria postów: 865	2016-04-18 15:32:26 Dziekuje. Czyli 1. wykres polplaszczyzna x<0 2. "Jeśli x=0, to implikacja prawdziwa dla każdego t tylko, jeśli y=1." to odpowiada wykresowi: punkt (0,1). "Jeśli x=0 i y$\neq$1, to implikacja prawdziwa tylko dla t$\neq$0, nieprawdziwa dla t=0." (czyli nie dla wszystkich t prawdziwa; nie ma wykresu) 3. (nie prawdziwa dla kazdego t; nie ma wykresu) Ostatecznie wykres to: polplaszczyzna x<0 wraz z punktem (0,1). Prosilbym o pisanie jaki przypadek odpowiada jakiemu wykresowi. Moze bedzie mi latwiej.

tumor postów: 8070	2016-04-18 20:45:46 g) wykresem będzie $x^2+y^2<7$ A to dlatego, że kwantyfikator jest egzystencjalny. Jeśli weźmiesz $x^2+y^2<7$, to istnieje z, że $x^2+y^2+z^2<8$ Zarazem jeśli $0\le x^2+y^2$, czyli też istnieje takie z, żeby spełniać drugi warunek..

strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj