logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Teoria mnogości, zadanie nr 4464

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 863
2016-04-15 20:27:51

Narysuj wykres funkcji zdaniowych.
a)
($\exists_{z}$)($x^{2}+y^{2}+z^{2}$=1)
$z^{2}$=1$-$$x^{2}-y^{2}$, zeby istnial taki $z$ (dla dowolnych x, y), to 1$-$$x^{2}-y^{2}$$\ge$0, czyli $x^{2}+y^{2}$$\le$1.
Wykresem bedzie kolo o promieniu 1.

b)
($\forall_{z}$)($x^{2}+y^{2}+z^{2}$=1)
$z^{2}$=1$-$$x^{2}-y^{2}$, ale to nie bedzie prawdziwe dla kazdego $z$ (przy dowolnych x, y)
(nie bedzie prawdziwe, gdy 1$-$$x^{2}-y^{2}$<0, czyli dla $x^{2}+y^{2}$>1)
Zatem szukamy kontrprzykladu.
Np. z=2, wtedy $x^{2}+y^{2}$=$-$3 (a to nieprawda dla dowolnych x, y).
Wykresem bedzie zbior pusty.

c)
($\forall_{z}$)($x^{2}+y^{2}+z^{2}$>1)

$z^{2}$>1$-$$x^{2}-y^{2}$ i dalej mam problem w ocenieniu czy to jest prawdziwe dla kazdego $z$.



tumor
postów: 8070
2016-04-15 21:31:15

a) tak

b) tak, przykład z=2 jest wystarczający dla argumentacji.

c) zauważ, że wszystkie punkty poza kołem z a) spełniają c) ich współrzędne spełniają $x^2+y^2>1$, wobec tego dodanie jakiegokolwiek $z^2$ nic nie zmieni.

Dla punktów z koła dodanie $z^2=0$ przeczyłoby dużemu kwantyfikatorowi.

Wiadomość była modyfikowana 2016-04-15 22:55:47 przez tumor

geometria
postów: 863
2016-04-15 22:12:40

Nie rozumiem ostatniego zdania.


geometria
postów: 863
2016-04-16 09:15:52

Dziekuje.

d)
$\exists_{z}$(|z|<1 $\wedge$ x=2y+z)
z$\in$(-1,1)
y=$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}z$
Wykresem bedzie obszar miedzy prostymi y=$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$ i y=$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$ bez tych prostych.

e)
$\exists_{t}$($x=t^{2}\wedge y=t^{3}+1$)
$t^{2}=x$; $x\ge0$
$|t|=\sqrt{x}$
$t=-\sqrt{x} \vee t=\sqrt{x}$
Zatem $y=(-\sqrt{x})^{3}+1; x\ge0$ oraz $y=(\sqrt{x})^{3}+1; x\ge0 $ i to beda te wykresy.


tumor
postów: 8070
2016-04-18 12:32:58

d) ok

e) ok


geometria
postów: 863
2016-04-18 14:54:02

f)
$\forall_{t}$(x=$t^{2}\Rightarrow y=t^{3}+1)$
1. x<0 implikacja prawdziwa dla kazdego t.
Wykres to polplaszczyzna x<0.
2. x=0 implikacja prawdziwa dla kazdego t.
Wykresem bedzie punkt (0,1).
3. x>0 implikacja nieprawdziwa dla kazdego t (nie ma wykresu)

Ostatecznie wykres to polplaszczyzna x<0 wraz z punktem (0,1).


geometria
postów: 863
2016-04-18 15:05:06

g) $\exists_{z}$($1<z<2 \wedge 2<x^{2}+y^{2}+z^{2}<8$)
$1<z<2 /()^{2}$
$1<z^{2}<4$
$\left\{\begin{matrix} 2<x^{2}+y^{2}+z^{2}<8 \\ 1<z^{2}<4 \end{matrix}\right.$
(od pierwszego odejmuje drugie), czyli otrzymuje $1<x^{2}+y^{2}<4$. I to bedzie ten wykres.



tumor
postów: 8070
2016-04-18 15:07:21

f)
1. ok. Mamy tylko t nie spełniające poprzednika

2. Jeśli x=0, to implikacja prawdziwa dla każdego t tylko, jeśli y=1. Jeśli x=0 i $y\neq 1$, to implikacja prawdziwa tylko dla $t\neq 0$, nieprawdziwa dla t=0.

3.
Jeśli x>0, to dla wszystkich t poza dwoma implikacja ma poprzednik fałszywy (wtedy jest prawdziwa).
Natomiast dla dwóch t ma poprzednik prawdziwy. Nie może mieć jednak dla obu prawdziwego następnika. Zatem dla co najmniej jednego t następnik jest fałszywy.


geometria
postów: 863
2016-04-18 15:32:26

Dziekuje.
Czyli
1. wykres polplaszczyzna x<0
2. "Jeśli x=0, to implikacja prawdziwa dla każdego t tylko, jeśli y=1." to odpowiada wykresowi: punkt (0,1).
"Jeśli x=0 i y$\neq$1, to implikacja prawdziwa tylko dla t$\neq$0, nieprawdziwa dla t=0." (czyli nie dla wszystkich t prawdziwa; nie ma wykresu)
3. (nie prawdziwa dla kazdego t; nie ma wykresu)

Ostatecznie wykres to: polplaszczyzna x<0 wraz z punktem (0,1).

Prosilbym o pisanie jaki przypadek odpowiada jakiemu wykresowi. Moze bedzie mi latwiej.



tumor
postów: 8070
2016-04-18 20:45:46

g) wykresem będzie $x^2+y^2<7$

A to dlatego, że kwantyfikator jest egzystencjalny.

Jeśli weźmiesz $x^2+y^2<7$, to istnieje z, że
$x^2+y^2+z^2<8$

Zarazem jeśli $0\le x^2+y^2$, czyli też istnieje takie z, żeby spełniać drugi warunek..




strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj