logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Teoria mnogości, zadanie nr 4464

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 865
2016-04-18 22:19:19

No dobrze. A w jaki sposob do tego dojsc?



tumor
postów: 8070
2016-04-18 22:59:47

z jest liczbą z $(1,2)$.

Mamy $x^2+y^2+z^2$, liczba ta należy do przedziału
$(x^2+y^2+1,x^2+y^2+4)$.
Jeśli mamy kwantyfikator $\exists$, to wystarcza, żeby ten przedział, z przedziałem (2,8) miał niepusty przekrój.
Ma dla $x^2+y^2\in [0,7)$.



geometria
postów: 865
2016-04-19 17:12:31

h) $\exists_{z}$$(1<z<2 \Rightarrow 2<x^{2}+y^{2}+z^{2}<8)$

1. jezeli poprzednik prawdziwy, to znajdziemy (istnieje) takiego $z$ z tego przedzialu, zeby nastepnik byl prawdziwy, wykresem bedzie $0\le x^{2}+y^{2}<7$.
2. poprzednik falszywy, to nie znajdziemy takiego $z$ , zeby nastepnik byl prawdziwy; nie ma wykresu (implikacja prawdziwa, ale nie jest speniony kwantyfikator $\exists_{}$).
3. poprzednik falszywy, to znajdziemy takiego $z$ , zeby nastepnik byl falszywy; wykres to wszystko oprocz obszaru w 1.

Ostatecznie wykres to cala plaszczyzna.

i) $\forall_{z}$$(1<z<2 \Rightarrow 2<x^{2}+y^{2}+z^{2}<8)$

1. poprzednik prawdziwy, to dla kazdego $z$ nalezacego do przedzialu bedzie nastepnik prawdziwy; wykres taki jak w 1.
2. poprzednik falszywy, ale wtedy nie dla kazdego $z$ bedzie spelniony nastepnik;nie ma wykresu.

Moglbym poprosic przy sprawdzaniu o napisanie jakiemu przypadkowi odpowiada jaki wykres i dlaczego?




tumor
postów: 8070
2016-04-19 21:25:59

h) A co to znaczy niespełniony kwantyfikator?

Nie rozumiem Twojego rozbijania na 3 różne etapy. Dla każdego punktu (x,y) znajdziemy z takie, żeby implikacja była spełniona, bo dla każdego wystarczy wziąć takie z, że poprzednik jest fałszywy i następnik wtedy nie ma znaczenia.
Nic więcej.
Natomiast wniosek, że cała płaszczyzna, popieram.

i) w tym przypadku nie chcemy dowolnego z, muszą być wszystkie z.
Oczywiście z spoza przedziału (1,2) są od razu ok. Pozostaje sprawdzić z należące do przedziału.

Teraz wykresem będzie $1<x^2+y^2<4$.
Dlatego, że skoro $z\in (1,2)$, to $z^2\in (1,4)$, czyli musi być
$x^2+y^2\in [1,4]$, żeby w sumie
$x^2+y^2+z^2\in (2,8)$

Można też spojrzeć od drugiej strony, czyli zaprzeczyć temu zdaniu i szukać punktów, które nie należą do wykresu.

(porównaj ostatnie przykłady)

Wiadomość była modyfikowana 2016-04-20 15:27:02 przez tumor

geometria
postów: 865
2016-04-19 23:35:47

Dziekuje.
i) A jaki wykres odpowiada przypadkowi, gdy $z$ sa poza przedzialem?


tumor
postów: 8070
2016-04-19 23:51:57

To nie jest oddzielny przypadek. Nie rozumiem Twojego stylu analizy przykładów.

Konkretny punkt $(x_0,y_0)$ należy do wykresu lub nie należy do wykresu.

w i) punkt ten należy do wykresu, jeśli dla każdego $z$ spełniona jest implikacja.
Dla $z$ spoza przedziału $(1,2)$ implikacja jest spełniona.
Jeśli dla $z\in (1,2)$ też jest spełniona, to jest dla wszystkich, czyli $(x_0,y_0)$ należy do wykresu.
Zatem dla konkretnego $(x_0,y_0)$ sprawdzamy tylko $z\in (1,2)$, bo innych już nie musimy.

Pytanie "jaki wykres odpowiada z" zakłada, że wykres jest zależny od z. Nie jest. To jest zmienna związana w formule. To zależnie od x i y punkt należy do wykresu lub nie.



geometria
postów: 865
2016-04-20 14:24:43

Zrobilem tak:
$\forall_{z}$$(1<z<2\Rightarrow 2<x^{2}+y^{2}+z^{2}<8)$
Negacja tego wyrazenia to:
$\exists_{z}$$(1<z<2\ \wedge ( x^{2}+y^{2}+z^{2}\le2 \vee x^{2}+y^{2}+z^{2}\ge8 ))$ $\iff$ $\exists_{z}$$((1<z<2\ \wedge x^{2}+y^{2}+z^{2}\le2) \vee (1<z<2 \wedge x^{2}+y^{2}+z^{2}\ge8 ))$
Wykresem wyrazenia wyjsciowego bedzie dopelnienie wykresu z wyrazenia negowanego.

Przedzial $(x^{2}+y^{2}+1, x^{2}+y^{2}+4)$ z przedzialem [0,2] ma miec czesc wspolna. Ma, gdy $0\le x^{2}+y^{2}<1$.

Przedzial $(x^{2}+y^{2}+1, x^{2}+y^{2}+4)$ z przedzialem $[8,+\infty)$ ma miec czesc wspolna. Ma, gdy $x^{2}+y^{2}>4$.

Biorac sume tych dwoch warunkow otrzymuje wykres wyrazenia negowanego.
Po dopelnieniu nie zgadzaja mi sie brzegi. (powinno byc $1< x^{2}+y^{2}<4$ a wychodzi $1\le x^{2}+y^{2}\le4$)


tumor
postów: 8070
2016-04-20 15:27:44

Nie, powinno być rzeczywiście $1\le x^2+y^2\le 4$, wcześniej był błąd, przepraszam.


geometria
postów: 865
2016-04-20 15:47:26

Ok. Dziekuje.

Wole te wyrazenia z implikacjami, gdzie wystepuje kwantyfikator $\forall_{}$ zamieniac na ich negacje i brac dopelnienie.

strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj