Teoria mnogości, zadanie nr 4464
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
geometria postów: 865 | 2016-04-18 22:19:19 No dobrze. A w jaki sposob do tego dojsc? |
tumor postów: 8070 | 2016-04-18 22:59:47 z jest liczbą z $(1,2)$. Mamy $x^2+y^2+z^2$, liczba ta należy do przedziału $(x^2+y^2+1,x^2+y^2+4)$. Jeśli mamy kwantyfikator $\exists$, to wystarcza, żeby ten przedział, z przedziałem (2,8) miał niepusty przekrój. Ma dla $x^2+y^2\in [0,7)$. |
geometria postów: 865 | 2016-04-19 17:12:31 h) $\exists_{z}$$(1<z<2 \Rightarrow 2<x^{2}+y^{2}+z^{2}<8)$ 1. jezeli poprzednik prawdziwy, to znajdziemy (istnieje) takiego $z$ z tego przedzialu, zeby nastepnik byl prawdziwy, wykresem bedzie $0\le x^{2}+y^{2}<7$. 2. poprzednik falszywy, to nie znajdziemy takiego $z$ , zeby nastepnik byl prawdziwy; nie ma wykresu (implikacja prawdziwa, ale nie jest speniony kwantyfikator $\exists_{}$). 3. poprzednik falszywy, to znajdziemy takiego $z$ , zeby nastepnik byl falszywy; wykres to wszystko oprocz obszaru w 1. Ostatecznie wykres to cala plaszczyzna. i) $\forall_{z}$$(1<z<2 \Rightarrow 2<x^{2}+y^{2}+z^{2}<8)$ 1. poprzednik prawdziwy, to dla kazdego $z$ nalezacego do przedzialu bedzie nastepnik prawdziwy; wykres taki jak w 1. 2. poprzednik falszywy, ale wtedy nie dla kazdego $z$ bedzie spelniony nastepnik;nie ma wykresu. Moglbym poprosic przy sprawdzaniu o napisanie jakiemu przypadkowi odpowiada jaki wykres i dlaczego? |
tumor postów: 8070 | 2016-04-19 21:25:59 h) A co to znaczy niespełniony kwantyfikator? Nie rozumiem Twojego rozbijania na 3 różne etapy. Dla każdego punktu (x,y) znajdziemy z takie, żeby implikacja była spełniona, bo dla każdego wystarczy wziąć takie z, że poprzednik jest fałszywy i następnik wtedy nie ma znaczenia. Nic więcej. Natomiast wniosek, że cała płaszczyzna, popieram. i) w tym przypadku nie chcemy dowolnego z, muszą być wszystkie z. Oczywiście z spoza przedziału (1,2) są od razu ok. Pozostaje sprawdzić z należące do przedziału. Teraz wykresem będzie $1<x^2+y^2<4$. Dlatego, że skoro $z\in (1,2)$, to $z^2\in (1,4)$, czyli musi być $x^2+y^2\in [1,4]$, żeby w sumie $x^2+y^2+z^2\in (2,8)$ Można też spojrzeć od drugiej strony, czyli zaprzeczyć temu zdaniu i szukać punktów, które nie należą do wykresu. (porównaj ostatnie przykłady) Wiadomość była modyfikowana 2016-04-20 15:27:02 przez tumor |
geometria postów: 865 | 2016-04-19 23:35:47 Dziekuje. i) A jaki wykres odpowiada przypadkowi, gdy $z$ sa poza przedzialem? |
tumor postów: 8070 | 2016-04-19 23:51:57 To nie jest oddzielny przypadek. Nie rozumiem Twojego stylu analizy przykładów. Konkretny punkt $(x_0,y_0)$ należy do wykresu lub nie należy do wykresu. w i) punkt ten należy do wykresu, jeśli dla każdego $z$ spełniona jest implikacja. Dla $z$ spoza przedziału $(1,2)$ implikacja jest spełniona. Jeśli dla $z\in (1,2)$ też jest spełniona, to jest dla wszystkich, czyli $(x_0,y_0)$ należy do wykresu. Zatem dla konkretnego $(x_0,y_0)$ sprawdzamy tylko $z\in (1,2)$, bo innych już nie musimy. Pytanie "jaki wykres odpowiada z" zakłada, że wykres jest zależny od z. Nie jest. To jest zmienna związana w formule. To zależnie od x i y punkt należy do wykresu lub nie. |
geometria postów: 865 | 2016-04-20 14:24:43 Zrobilem tak: $\forall_{z}$$(1<z<2\Rightarrow 2<x^{2}+y^{2}+z^{2}<8)$ Negacja tego wyrazenia to: $\exists_{z}$$(1<z<2\ \wedge ( x^{2}+y^{2}+z^{2}\le2 \vee x^{2}+y^{2}+z^{2}\ge8 ))$ $\iff$ $\exists_{z}$$((1<z<2\ \wedge x^{2}+y^{2}+z^{2}\le2) \vee (1<z<2 \wedge x^{2}+y^{2}+z^{2}\ge8 ))$ Wykresem wyrazenia wyjsciowego bedzie dopelnienie wykresu z wyrazenia negowanego. Przedzial $(x^{2}+y^{2}+1, x^{2}+y^{2}+4)$ z przedzialem [0,2] ma miec czesc wspolna. Ma, gdy $0\le x^{2}+y^{2}<1$. Przedzial $(x^{2}+y^{2}+1, x^{2}+y^{2}+4)$ z przedzialem $[8,+\infty)$ ma miec czesc wspolna. Ma, gdy $x^{2}+y^{2}>4$. Biorac sume tych dwoch warunkow otrzymuje wykres wyrazenia negowanego. Po dopelnieniu nie zgadzaja mi sie brzegi. (powinno byc $1< x^{2}+y^{2}<4$ a wychodzi $1\le x^{2}+y^{2}\le4$) |
tumor postów: 8070 | 2016-04-20 15:27:44 Nie, powinno być rzeczywiście $1\le x^2+y^2\le 4$, wcześniej był błąd, przepraszam. |
geometria postów: 865 | 2016-04-20 15:47:26 Ok. Dziekuje. Wole te wyrazenia z implikacjami, gdzie wystepuje kwantyfikator $\forall_{}$ zamieniac na ich negacje i brac dopelnienie. |
strony: 1 2 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj