Geometria, zadanie nr 4547
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
geometria post贸w: 865 |  2016-05-15 12:15:13W trojkacie $\angle$C=$90^{o}$. $CH_{3}$ wysokosc padajaca z wierzcholka C na bok AB. Niech$ I_{1}, I_{2}$ srodki okregow wpisanych w trojkaty A$H_{3}$C i B$H_{3}$C. Niech $I_{1}I_{2}$=d. Oblicz promien okregu wpisanego w trojkat ABC. Wskazowka: Zauwazyc, ze $r_{1}^{2}+r_{2}^{2}=r_{}^{2}$; skorzystac z pol; zauwazyc, ze $\angle I_{1}H_{3}I_{2}$=$90^{o}$ (ale dlaczego?). |
tumor post贸w: 8070 | 2016-05-15 15:07:23 na rysunku masz 3 tr贸jk膮ty podobne $BCH_3$ z przeciwprostok膮tn膮 BC i promieniem okr臋gu $r_1$ $ACH_3$ z przeciwprostok膮tn膮 AC i promieniem okr臋gu $r_2$ $ABC$ z przeciwprostok膮tn膮 AB i promieniem okr臋gu $r$ Oczywi艣cie $(BC)^2+(AC)^2=(AB)^2$ bo tr贸jk膮t prostok膮tny. Zarazem $\frac{BC}{r_1}=\frac{AC}{r_2}=\frac{AB}{r}=m$ (stosunek dowolnych dw贸ch odcink贸w pozostaje sta艂y gdy zmieniamy tylko rozmiar figury) st膮d $m^2r_1^2+m^2r_2^2=m^2r^2$ mo偶na obustronnie podzieli膰 przez $m^2$ ----- K膮t $I_1HI_2$ ma miar臋 90 stopni, bowiem 艣rodki $I_1, I_2$ okr臋g贸w wpisanych le偶膮 na dwusiecznych, wobec czego dwusieczna $H_3I_2$ dzieli k膮t $CH_3B$ na po艂owy, analogicznie z drugim okr臋giem. |
geometria post贸w: 865 | 2016-05-16 17:14:40 Wydaje mi sie, ze tam powinno byc dwusieczna $H_{3}I_{2}$ dzieli kat C$H_{3}A$ bo trojkat AC$H_{3}$ ma promien $r_{2}$ (z wczesniejszych oznaczen) |
tumor post贸w: 8070 | 2016-05-16 17:22:49 Tak, przepraszam, liter贸wka. Natomiast chwytasz ide臋 rozwi膮zania. ;) |
geometria post贸w: 865 | 2016-05-16 17:28:33 Ale nie wiem jak obliczyc to $r$ pomimo tych wskazowek, ktore teraz wiem skad sie wziely. |
geometria post贸w: 865 | 2016-05-16 20:56:03 Jakies podpowiedzi dodatkowe. |
tumor post贸w: 8070 | 2016-05-16 21:37:07 Popatrz na te dwa okr臋gi w okolicach punktu $H_3$. Mo偶na tam sobie dorysowa膰 promienie okr臋g贸w po pierwsze opadaj膮ce na przeciwprostok膮tn膮 AB, a po drugie na wysoko艣膰 $CH_3$. Powstan膮 w ten spos贸b dwa kwadraty o bokach $r_2$ i $r_1$ stykaj膮ce si臋 bokami. Odcinki $I_1H_3$ i $I_2H_3$ s膮 przek膮tnymi tych kwadrat贸w, wobec tego maj膮 d艂ugo艣ci $\sqrt{2}r_1$ i $\sqrt{2}r_2$, stanowi膮 te偶 przyprostok膮tne tr贸jk膮ta prostok膮tnego, kt贸rego przeciwprostok膮tn膮 jest d (z tre艣ci zadania). Wobec tego $d^2=(\sqrt{2}r_1)^2+(\sqrt{2}r_2)^2=(\sqrt{2}r)^2$ |
geometria post贸w: 865 | 2016-05-17 08:54:44 Czyli $r=d.$ |
geometria post贸w: 865 | 2016-05-17 09:11:49 * Przy oznaczeniach poprzedniego zadania wykazac, ze dwusieczna $\angle C$ jest prostopadla do $I_{1}I_{2}$. Wykazac, ze AI$\perp$C$I_{2}$ (w jaki sposob?). Zauwazyc, ze I jest ortocentrum trojkata $C$$I_{1}I_{2}$ (z czego to wynika?). |
tumor post贸w: 8070 | 2016-05-17 09:42:29 Nie $r=d$ tylko $r\sqrt{2}=d$. Moim zdaniem t臋 pierwsz膮 prostopad艂o艣膰 naj艂atwiej z tr贸jk膮t贸w podobnych. Dwusieczna przy C jest oczywi艣cie pod k膮tem 45 stopni do CA, k膮t przy A jest $\alpha$, k膮t $AH_3I_2$ ma 45 stopni, $H_3I_2I_1$ ma $\alpha$. Czyli wszystko gra, wystarczy w dobr膮 stron臋 dodawa膰/odejmowa膰 (np dodawa膰 gdy poruszamy si臋 przeciwnie do ruchu wskaz贸wek zegara, odejmowa膰 w przeciwnym kierunku). K膮ty 45 stopni wynikaj膮 z tego, 偶e mamy tu dwusieczne przy k膮tach prostych. AI jest prostopad艂y do $CI_1$ z uwagi na podobie艅stwo tr贸jk膮t贸w. AI jest dwusieczn膮 k膮ta $\alpha$ przy $A, CI_1$ jest dwusieczn膮 k膮ta $\alpha$ w tr贸k膮cie $BCH_3$. Zmieni艂em tu $I_2$ na $I_1$ bo w sumie na r贸偶nych rysunkach mam r贸偶ne oznaczenia, taki bajzel. :P Chyba 艂atwo si臋 z rysunku zorientowa膰, do czego jest prostopad艂a AI. Do odcinka 艂膮cz膮cego C ze 艣rodkiem okr臋gu najdalszego od A. :) Ortocentrum wynika st膮d, 偶e przecinaj膮 si臋 tam wysoko艣ci. Wystarczy pokaza膰, 偶e dwie. Punkty $I,I_2$ le偶膮 na dwusiecznej AI, prostopad艂ej do $CI_1$, wobec tego le偶y na tej dwusiecznej wysoko艣膰 prowadzona z $I_2$ na bok $CI_1$. Punkt I le偶y te偶 na dwusiecznej prowadzonej z C (w tr贸jk膮cie ABC), a dwusieczna ta jest prostopad艂a do $I_1I_2$, st膮d wysoko艣膰 prowadzona z C w tr贸jk膮cie $CI_1I_2$ opadaj膮ca na $I_1I_2$ le偶y na tej dwusiecznej. Dwusieczne przecinaj膮 si臋 w I. ---- No i mo偶liwe, 偶e mam tu jakie艣 liter贸wki. Na obecnym rysunku mam $I_2$ w tr贸jk膮cie $ACH_3$. Je艣li masz wewn膮trz $I_1$, to po prostu zamie艅 moje oznaczenia. A liter贸wki to sobie popraw, prosz臋, we w艂asnym zakresie, bo ja si臋 strasznie nie lubi臋 d艂uba膰 z tymi wszystkimi literkami. :) No i troch臋 za du偶膮 cz臋艣膰 zada艅 zrzucasz na mnie. Pr贸buj wi臋cej. W geometrii czasem liczy si臋 fantazja, czyli pr贸buj r贸偶nych rozwi膮za艅. Najcz臋艣ciej b臋dziemy si臋 odwo艂ywa膰 do podobie艅stwa tr贸jk膮t贸w, twierdzenia Talesa, tw. Pitagorasa, dwusiecznych, sumy k膮t贸w, 艣rodkowych, wysoko艣ci. Czyli zawsze sprawd藕, czy mo偶esz wypisa膰 jakie艣 r贸wnania, proporcje, zale偶no艣ci z tym zwi膮zane. Akurat w przypadku wy偶ej dwusieczne i podobie艅stwo za艂atwiaj膮 spraw臋. |
| strony: 1 2 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj