logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Geometria, zadanie nr 4547

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 854
2016-05-15 12:15:13

W trojkacie $\angle$C=$90^{o}$. $CH_{3}$ wysokosc padajaca z wierzcholka C na bok AB. Niech$ I_{1}, I_{2}$ srodki okregow wpisanych w trojkaty A$H_{3}$C i B$H_{3}$C. Niech $I_{1}I_{2}$=d. Oblicz promien okregu wpisanego w trojkat ABC.

Wskazowka: Zauwazyc, ze $r_{1}^{2}+r_{2}^{2}=r_{}^{2}$; skorzystac z pol; zauwazyc, ze $\angle I_{1}H_{3}I_{2}$=$90^{o}$ (ale dlaczego?).


tumor
postów: 8085
2016-05-15 15:07:23

na rysunku masz 3 trójkąty podobne
$BCH_3$ z przeciwprostokątną BC i promieniem okręgu $r_1$
$ACH_3$ z przeciwprostokątną AC i promieniem okręgu $r_2$
$ABC$ z przeciwprostokątną AB i promieniem okręgu $r$

Oczywiście $(BC)^2+(AC)^2=(AB)^2$ bo trójkąt prostokątny.
Zarazem $\frac{BC}{r_1}=\frac{AC}{r_2}=\frac{AB}{r}=m$
(stosunek dowolnych dwóch odcinków pozostaje stały gdy zmieniamy tylko rozmiar figury)
stąd $m^2r_1^2+m^2r_2^2=m^2r^2$
można obustronnie podzielić przez $m^2$

-----

Kąt $I_1HI_2$ ma miarę 90 stopni, bowiem środki $I_1, I_2$ okręgów wpisanych leżą na dwusiecznych, wobec czego dwusieczna $H_3I_2$ dzieli kąt $CH_3B$ na połowy, analogicznie z drugim okręgiem.


geometria
postów: 854
2016-05-16 17:14:40

Wydaje mi sie, ze tam powinno byc dwusieczna $H_{3}I_{2}$ dzieli kat C$H_{3}A$ bo trojkat AC$H_{3}$ ma promien $r_{2}$ (z wczesniejszych oznaczen)


tumor
postów: 8085
2016-05-16 17:22:49

Tak, przepraszam, literówka. Natomiast chwytasz ideę rozwiązania. ;)


geometria
postów: 854
2016-05-16 17:28:33

Ale nie wiem jak obliczyc to $r$ pomimo tych wskazowek, ktore teraz wiem skad sie wziely.


geometria
postów: 854
2016-05-16 20:56:03

Jakies podpowiedzi dodatkowe.


tumor
postów: 8085
2016-05-16 21:37:07

Popatrz na te dwa okręgi w okolicach punktu $H_3$.

Można tam sobie dorysować promienie okręgów po pierwsze opadające na przeciwprostokątną AB, a po drugie na wysokość $CH_3$. Powstaną w ten sposób dwa kwadraty o bokach $r_2$ i $r_1$ stykające się bokami.

Odcinki $I_1H_3$ i $I_2H_3$ są przekątnymi tych kwadratów, wobec tego mają długości $\sqrt{2}r_1$ i $\sqrt{2}r_2$, stanowią też przyprostokątne trójkąta prostokątnego, którego przeciwprostokątną jest d (z treści zadania).
Wobec tego
$d^2=(\sqrt{2}r_1)^2+(\sqrt{2}r_2)^2=(\sqrt{2}r)^2$



geometria
postów: 854
2016-05-17 08:54:44

Czyli $r=d.$


geometria
postów: 854
2016-05-17 09:11:49

* Przy oznaczeniach poprzedniego zadania wykazac, ze dwusieczna $\angle C$ jest prostopadla do $I_{1}I_{2}$.

Wykazac, ze AI$\perp$C$I_{2}$ (w jaki sposob?).
Zauwazyc, ze I jest ortocentrum trojkata $C$$I_{1}I_{2}$ (z czego to wynika?).


tumor
postów: 8085
2016-05-17 09:42:29

Nie $r=d$ tylko $r\sqrt{2}=d$.

Moim zdaniem tę pierwszą prostopadłość najłatwiej z trójkątów podobnych.

Dwusieczna przy C jest oczywiście pod kątem 45 stopni do CA, kąt przy A jest $\alpha$, kąt $AH_3I_2$ ma 45 stopni, $H_3I_2I_1$ ma $\alpha$.
Czyli wszystko gra, wystarczy w dobrą stronę dodawać/odejmować (np dodawać gdy poruszamy się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, odejmować w przeciwnym kierunku). Kąty 45 stopni wynikają z tego, że mamy tu dwusieczne przy kątach prostych.

AI jest prostopadły do $CI_1$ z uwagi na podobieństwo trójkątów. AI jest dwusieczną kąta $\alpha$ przy $A, CI_1$ jest dwusieczną kąta $\alpha$ w trókącie $BCH_3$. Zmieniłem tu $I_2$ na $I_1$ bo w sumie na różnych rysunkach mam różne oznaczenia, taki bajzel. :P Chyba łatwo się z rysunku zorientować, do czego jest prostopadła AI. Do odcinka łączącego C ze środkiem okręgu najdalszego od A. :)

Ortocentrum wynika stąd, że przecinają się tam wysokości. Wystarczy pokazać, że dwie.
Punkty $I,I_2$ leżą na dwusiecznej AI, prostopadłej do $CI_1$, wobec tego leży na tej dwusiecznej wysokość prowadzona z $I_2$ na bok $CI_1$.
Punkt I leży też na dwusiecznej prowadzonej z C (w trójkącie ABC), a dwusieczna ta jest prostopadła do $I_1I_2$, stąd wysokość prowadzona z C w trójkącie $CI_1I_2$ opadająca na $I_1I_2$ leży na tej dwusiecznej. Dwusieczne przecinają się w I.


----

No i możliwe, że mam tu jakieś literówki. Na obecnym rysunku mam $I_2$ w trójkącie $ACH_3$. Jeśli masz wewnątrz $I_1$, to po prostu zamień moje oznaczenia. A literówki to sobie popraw, proszę, we własnym zakresie, bo ja się strasznie nie lubię dłubać z tymi wszystkimi literkami. :)

No i trochę za dużą część zadań zrzucasz na mnie. Próbuj więcej. W geometrii czasem liczy się fantazja, czyli próbuj różnych rozwiązań. Najczęściej będziemy się odwoływać do podobieństwa trójkątów, twierdzenia Talesa, tw. Pitagorasa, dwusiecznych, sumy kątów, środkowych, wysokości. Czyli zawsze sprawdź, czy możesz wypisać jakieś równania, proporcje, zależności z tym związane. Akurat w przypadku wyżej dwusieczne i podobieństwo załatwiają sprawę.

strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 13 drukuj