logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 4675

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

janusz78
postów: 820
2016-06-09 10:07:40

Nie mógł Ci wyjść wielomian czwartego stopnia po podzieleniu wielomianu czwartego stopnia przez dwumian stopnia pierwszego (przypomnij sobie dzielenie wielomianu przez dwumian).

$(x^4 -\frac{5}{4}x +\frac{1}{4}): (x-1) = x^{3}+x^{2}+ x -\frac{1}{4} $

Znajdujemy rzeczywiste miejsca zerowe wielomianu

$ g(x)= x^3+ x^2 + x -\frac{1}{4}.$

Tutaj sprawa się trochę komplikuje, bo ten wielomian ma jedno rzeczywiste miejsce zerowe, które możemy znaleźć tylko metodami przybliżonymi na przykład wykorzystując wzory Cardano.

Angażując na przykład program Mathematica, otrzymujemy $ x_{2} \approx 0,2.$

Policz granice funkcji $ f $ w końcach dziedziny przy $ x\rightarrow -\infty, \ \ x\rightarrow +\infty.$


lunatyk150
postów: 14
2016-06-09 10:19:52

$\lim_{x \to -\infty}$=$+\infty$
$\lim_{x \to +\infty}$=$+\infty$



janusz78
postów: 820
2016-06-09 10:28:46

Dobrze, a jak policzyłeś te granice?

Zauważ, że wykres funkcji przecina oś OY w punkcie $ (0, f(0)) = \left(0,\ \ \frac{1}{4} \right)$

Analiza I pochodnej funkcji.

Oblicz pochodną I rzędu funkcji. Znajdź jej przedziały monotoniczności oraz ekstrema lokalne.


lunatyk150
postów: 14
2016-06-09 10:35:41

Pierwsza pochodna $4x^3$-$\frac{5}{4}$
Teraz trzeba sprawdzić istnienie ekstremy tak?
$4x^3$-$\frac{5}{4}$=0 Nie mam pomysłu jak to rozłożyć ?


lunatyk150
postów: 14
2016-06-09 11:02:16

$x$=$\sqrt[3]{\frac{5}{16}}$ Dobrze ?



lunatyk150
postów: 14
2016-06-09 11:33:18

Monotoniczność
$x$>$\sqrt[3]{\frac{5}{16}} $
$x$$\in(\sqrt[3]{\frac{5}{16}}$,$+\infty)$
$x$<$\sqrt[3]{\frac{5}{16}} $
$x$$\in(-\infty$,$\sqrt[3]{\frac{5}{16}})$


janusz78
postów: 820
2016-06-09 11:45:45

$ 4[x^{3}- (\sqrt[3]{\frac{5}{16}})^{3}] = (x - \sqrt[3]{\frac{5}{16}})(x^2 +x\sqrt[3]{\frac{5}{16}}+ \sqrt[3]{(\frac{5}{16})^2})$

O znaku pierwszej pochodnej decyduje znak funkcji liniowej:

$ y = x - \sqrt[3]{\frac{5}{16}}.$

Monotoniczność, to przedziały to przedziały w których funkcja rośnie w których maleje.

$ f \searrow $ dla $ x\in ( -\infty, \sqrt[3]{\frac{5}{16}}),$


$ f \nearrow $ dla $ x\in ( \sqrt[3]{\frac{5}{16}},+\infty).$

$ f_{min.lok}= f\left(\sqrt[3]{\frac{5}{16}}\right).$

Analiza pochodnej II rzędu



lunatyk150
postów: 14
2016-06-09 12:26:30

II pochodna $12x^2$
$12x^2$=$0$
$x$=$0$


$12x^2$>0
$x^2$>0
$x$$\in(-\infty$: $ 0)$$\cup$$(0$: $ +\infty)$

$12x^2$<$0$
$x^2$<0
$x$$\in\emptyset$

poprawnie?


janusz78
postów: 820
2016-06-09 15:17:51

$f"(x) = 12x^2>0, \ \ x\in (-\infty, 0)\cup (0, \infty).$


Wykres funkcji wypukły w całej dziedzinie-brak punktu przegięcia.

Tabelka przebiegu zmienności



lunatyk150
postów: 14
2016-06-09 15:48:08

Chyba sam nie dam rady.

strony: 1 2 3

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj