Teoria mnogości, zadanie nr 4683

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
geometria postów: 865	2016-06-10 17:41:05 1) [k, k+1) jest nieskonczony, rownoliczny z $R$ zatem jego moc \| [k, k+1)\|=$c$. 2) (a;+$\infty$), ($- \infty,b)$ nieskonczone rownoliczne z $R$. Ich moc to $continuum$. 3) A={($- \infty;0$), (0;+$\infty$)}. Zbior A jest skonczony, przeliczalny. Moc \|A\|=2 (bo zbior A ma tylko dwa elementy, tymi elementami sa przedzialy) 4) B={($- \infty$;$- 2$), (3; +$\infty$), [$-2$,3]}. Zbior B jest skonczony, przeliczalny. Moc \|B\|=3. 5) C={(a,b): a,b$\in R$}. Elementami zbioru C sa pary uporzadkowane. Zbior C jest nieskonczony. Ale jaka ma moc continuum czy alef zero? (czy jest rownoliczny z $R$ czy z $N$)? 6) D={(a,b)} dla a,b$\in R$. Zbior D jest skonczony, przeliczalny, jednoelementowy. Moc \|D\|=1.

tumor postów: 8070	2016-06-10 19:51:42 5) Nie może mieć mocy niższej niż c, bo przecież wszystkie pary $(a,0)$ tam należą, jest ich dokładnie tyle ile liczb rzeczywistych a. Zatem co najmniej c. Dobrze byłoby pokazać, że $R^2$ jest równoliczny z $R$, polecam twierdzenie Cantora-Bernsteina, bo jest łatwiejsze niż robienie bijekcji, ale bijekcję też się da. ;)

geometria postów: 865	2016-06-10 20:11:55 E={(a,b): a$\in Q \wedge b\in Q$} F={(a,b): a$\in Q \wedge b\in R$} G={(a,b): a$\in R \wedge b\in Q$} H={(a,b): a$\in N \wedge b\in N$} I={(a,b): a$\in N \wedge b\in Q$} J={(a,b): a$\in N \wedge b\in R$} K={(a,b): a$\in Z \wedge b\in N$} L={(a,b): a$\in Z \wedge b\in Q$} M={(a,b): a$\in Z \wedge b\in R$} Rozumiem, ze w zaleznosci od tego do jakiego zbioru liczb naleza wspolrzedne zmienia sie moc zbioru?

tumor postów: 8070	2016-06-10 20:24:09 Wszystkie powyższe mają moc albo $c$ albo $\aleph_0$. Przypomnę tylko, że $N^2$ równoliczny z N, $R^2$ równoliczny z R, a zresztą ogólnie jeśli $X$ jest zbiorem nieskończonym, to $X^2$ ma tę samą moc co $X$. Twierdzenie Hessenberga (omówione np. w Błaszczyk, Turek "Teoria mnogości") to które są przeliczalne?

geometria postów: 865	2016-06-10 20:32:45 E, H, I, K, L maja moc $\aleph_{0}$ (bo $N\sim Z\sim Q$; odpowiednie wspolrzedne naleza do zbiorow, ktore sa przeliczalne np. w I $N\sim Q$) pozostale maja moc c.

tumor postów: 8070	2016-06-10 20:50:55 ok

geometria postów: 865	2016-06-10 20:58:33 No dobrze. A wezmy np. M. Jak za b wstawie zero, czyli bedzie para (a,0), a$\in Z$ dlaczego wowczas nie jest mocy alef zero? Z drugiej strony za a wstawie 0 mam pare (0,b), a$\in R$ jest mocy c.

tumor postów: 8070	2016-06-10 21:08:53 Zbiór par, w których pierwsza współrzędna jest całkowita, a druga jest zerem, jest mocy $\aleph_0$. Tylko nie o to w tym zadaniu pytają. :) Podzbiory, misiek. Jeśli masz zbiór nieznanej mocy, to informacja $\aleph_0 \le \mid X \mid \le c$ nie mówi bardzo wiele, a informacja $c \le \mid X \mid \le c$ już nam mówi, że X ma moc c. Dlatego w przypadku M najlepiej pokazać, że ma i podzbiór mocy c (czyli zbiór par (0,b) dla $b\in R$) i nadzbiór mocy c (tu $R^2$)

geometria postów: 865	2016-06-10 22:20:37 A taki zbior U={{(a,b): a,b$\in R$}}? Wowczas zbior U ma jeden element-jeden zbior, jego moc \|U\|=1.

geometria postów: 865	2016-06-10 23:22:59 P={{(a,b)}, gdzie a,b$\in R$} Elementami zbioru P sa zbiory jednoelementowe, do ktorych nalezy para uporzadkowana. Takich zbiorow jednoelementowych jest nieskonczenie wiele, czyli zbior P jest nieskonczony. Wedlug mnie zbior P jest rownoliczny z $N$. Zatem moc zbioru P to \|P\|=$\aleph_{0}$.

strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj