logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Teoria mnogości, zadanie nr 4683

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 863
2016-06-10 17:41:05

1) [k, k+1) jest nieskonczony, rownoliczny z $R$ zatem jego moc | [k, k+1)|=$c$.
2) (a;+$\infty$), ($- \infty,b)$ nieskonczone rownoliczne z $R$. Ich moc to $continuum$.
3) A={($- \infty;0$), (0;+$\infty$)}. Zbior A jest skonczony, przeliczalny. Moc |A|=2 (bo zbior A ma tylko dwa elementy, tymi elementami sa przedzialy)
4) B={($- \infty$;$- 2$), (3; +$\infty$), [$-2$,3]}. Zbior B jest skonczony, przeliczalny. Moc |B|=3.
5) C={(a,b): a,b$\in R$}. Elementami zbioru C sa pary uporzadkowane.
Zbior C jest nieskonczony. Ale jaka ma moc continuum czy alef zero? (czy jest rownoliczny z $R$ czy z $N$)?
6) D={(a,b)} dla a,b$\in R$. Zbior D jest skonczony, przeliczalny, jednoelementowy. Moc |D|=1.


tumor
postów: 8070
2016-06-10 19:51:42

5)
Nie może mieć mocy niższej niż c, bo przecież wszystkie pary
$(a,0)$ tam należą, jest ich dokładnie tyle ile liczb rzeczywistych a.
Zatem co najmniej c.
Dobrze byłoby pokazać, że $R^2$ jest równoliczny z $R$, polecam twierdzenie Cantora-Bernsteina, bo jest łatwiejsze niż robienie bijekcji, ale bijekcję też się da. ;)


geometria
postów: 863
2016-06-10 20:11:55

E={(a,b): a$\in Q \wedge b\in Q$}
F={(a,b): a$\in Q \wedge b\in R$}
G={(a,b): a$\in R \wedge b\in Q$}
H={(a,b): a$\in N \wedge b\in N$}
I={(a,b): a$\in N \wedge b\in Q$}
J={(a,b): a$\in N \wedge b\in R$}
K={(a,b): a$\in Z \wedge b\in N$}
L={(a,b): a$\in Z \wedge b\in Q$}
M={(a,b): a$\in Z \wedge b\in R$}

Rozumiem, ze w zaleznosci od tego do jakiego zbioru liczb naleza wspolrzedne zmienia sie moc zbioru?


tumor
postów: 8070
2016-06-10 20:24:09

Wszystkie powyższe mają moc albo $c$ albo $\aleph_0$.
Przypomnę tylko, że $N^2$ równoliczny z N, $R^2$ równoliczny z R, a zresztą ogólnie jeśli $X$ jest zbiorem nieskończonym, to $X^2$ ma tę samą moc co $X$. Twierdzenie Hessenberga (omówione np. w Błaszczyk, Turek "Teoria mnogości")

to które są przeliczalne?


geometria
postów: 863
2016-06-10 20:32:45

E, H, I, K, L maja moc $\aleph_{0}$ (bo $N\sim Z\sim Q$; odpowiednie wspolrzedne naleza do zbiorow, ktore sa przeliczalne np. w I $N\sim Q$)
pozostale maja moc c.



tumor
postów: 8070
2016-06-10 20:50:55

ok


geometria
postów: 863
2016-06-10 20:58:33

No dobrze.

A wezmy np. M.
Jak za b wstawie zero, czyli bedzie para (a,0), a$\in Z$ dlaczego wowczas nie jest mocy alef zero?
Z drugiej strony za a wstawie 0 mam pare (0,b), a$\in R$ jest mocy c.


tumor
postów: 8070
2016-06-10 21:08:53

Zbiór par, w których pierwsza współrzędna jest całkowita, a druga jest zerem, jest mocy $\aleph_0$.
Tylko nie o to w tym zadaniu pytają. :)

Podzbiory, misiek.

Jeśli masz zbiór nieznanej mocy, to informacja
$\aleph_0 \le \mid X \mid \le c$
nie mówi bardzo wiele, a informacja
$c \le \mid X \mid \le c$
już nam mówi, że X ma moc c.
Dlatego w przypadku M najlepiej pokazać, że ma i podzbiór mocy c (czyli zbiór par (0,b) dla $b\in R$) i nadzbiór mocy c (tu $R^2$)


geometria
postów: 863
2016-06-10 22:20:37

A taki zbior U={{(a,b): a,b$\in R$}}?
Wowczas zbior U ma jeden element-jeden zbior, jego moc |U|=1.


geometria
postów: 863
2016-06-10 23:22:59

P={{(a,b)}, gdzie a,b$\in R$}
Elementami zbioru P sa zbiory jednoelementowe, do ktorych nalezy para uporzadkowana. Takich zbiorow jednoelementowych jest nieskonczenie wiele, czyli zbior P jest nieskonczony.
Wedlug mnie zbior P jest rownoliczny z $N$. Zatem moc zbioru P to |P|=$\aleph_{0}$.

strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj