Analiza matematyczna, zadanie nr 4694
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
tomek987 post贸w: 103 |  2016-06-13 21:42:28Oblicz $\lim_{n \to \infty}$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\frac{x*(sinx)^{n}}{\sqrt{1+(sinx)^{n}}}$ |
tumor post贸w: 8070 | 2016-06-13 21:52:03 Zauwa偶amy, 偶e wewn膮trz przedzia艂u $(0,\frac{\pi}{2})$ funkcja $sinx$ przyjmuje warto艣ci z (0,1). Takie liczby podnoszone do kolejnych pot臋g zbli偶aj膮 si臋 do 0. Wobec tego dla $x\in (0,\frac{\pi}{2})$ kolejne funkcje pod znakiem ca艂ki b臋d膮 mie膰 licznik coraz bli偶szy 0, mianownik zawsze wi臋kszy ni偶 1. |
tomek987 post贸w: 103 | 2016-06-13 22:21:34 Ok, czyli funkcja podca艂kowa d膮偶y do zera, ale czy to oznacza, 偶e ca艂a ca艂ka d膮偶y do 0? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-06-13 22:26:22 I tak i nie. Ca艂ka tak, funkcja podca艂kowa nie d膮偶y wcale do 0, bo jej prawostronn膮 granic膮 jest zawsze $\frac{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1+1}}$. Narysuj sobie na jednym wykresie (mo偶na online) funkcje podca艂kowe dla n=1, n=10 i n=1000 |
tomek987 post贸w: 103 | 2016-06-14 18:32:02 Rozumiem. W takim razie trzeba to zrobi膰 z 3 ci膮g贸w, tylko jakie ci膮gi wybra膰 z g贸ry i z do艂u? Tzn. Poprosz臋 o konkretne rozwi膮zanie, takie modelowe |
tumor post贸w: 8070 | 2016-06-14 19:04:15 A guzik. Po pierwsze rozwa偶 ca艂k臋 $\int_0^a$ dla tej samej funkcji, tylko z $0<a<\frac{\pi}{2}$. Znajd藕 maksimum tej funkcji, oznaczmy je $M$, 偶eby da艂o si臋 spokojnie ograniczy膰 t臋 ca艂k臋 z g贸ry przez $aM$. W miar臋 jak $M$ ro艣nie do niesko艅czono艣ci, male膰 b臋dzie $M$, wobec tego male膰 te偶 b臋dzie $aM$. Ca艂ka ta od naszej r贸偶ni si臋 o mniej ni偶 $(\frac{\pi}{2}-a)*\frac{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1+1}}$. Wobec tego mo偶emy zawsze dobra膰 $a$ w ten spos贸b, by ca艂ki r贸偶ni艂y si臋 o dowolnie ma艂y $\epsilon$. Zatem dla dowolnie ma艂ego $\epsilon$ dostajemy dwie ca艂ki r贸偶ni膮ce si臋 maksymalnie o $\epsilon$, z tego jedna jest ograniczona przez wyra偶enie d膮偶膮ce w granicy do 0. Zapisanie tego krzakami to si臋 zawsze zostawia komu艣 mniej do艣wiadczonemu, bo to nuda. Policzy膰 maksimum w przedziale $[0,a]$ jest 艂atwo, ale pochodna wychodzi na tyle d艂uga, 偶e za darmo jej nie przepisz臋. |
tomek987 post贸w: 103 | 2016-06-14 19:48:24 Obliczy艂em miejsca zerowe pochodnej i zeruje si臋 ona dla x=0 i $x=\pi/2$ i maksimum jest w $x=\pi/2$ czy to jest ok? |
tomek987 post贸w: 103 | 2016-06-14 19:57:54 I rzeczywi艣cie dla $x=\pi/2$ warto艣膰 funkcji jest $\frac{\pi}{2\sqrt{2}}$ |
tumor post贸w: 8070 | 2016-06-14 19:58:53 Je艣li $a<\frac{\pi}{2}$, a to napisa艂em wy偶ej, to maksimum funkcji w przedziale $[0,a]$, o kt贸rym pisa艂em wy偶ej, nie mo偶e przypada膰 na $x=\frac{\pi}{2}$. Po drugie nie g艂upiej od matematyki. My艣l. Funkcja $f(x)=\mid x \mid$ ma OCZYWISTE minimum, kt贸rego nie znajdziesz przez przyr贸wnanie pochodnej do 0. Metoda zadzia艂a gdy b臋dziesz szuka膰 ekstremum lokalnego funkcji r贸偶niczkowalnej w przedziale otwartym, ale to nie znaczy, 偶e jest og贸ln膮 metod膮 wyszukiwania maksimum. Proponuj臋 po prostu sprawdzi膰 znak pochodnej w przedziale $[0,a]$ --- [cenzura] [cenzura] ale ma inteligencj臋. Je艣li zaczniesz stosowa膰 bez pomy艣lunku metody jak kalkulator, to przegrasz NAWET z kalkulatorem. Nie op艂aca si臋. Zawsze pami臋taj, co robisz, po co robisz, czemu decydujesz si臋 na metod臋. To daje nam, p贸ki co, nad kalkulatorami przewag臋. |
tomek987 post贸w: 103 | 2016-06-14 20:07:21 Ok, ju偶 w pe艂ni si臋 mobilizuj臋! Funkcja jest rosn膮ca, wi臋c minimum funcji jest w $x=0$ a maksimum b臋dzie w $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}$. Dla coraz wi臋kszych n to maksimum b臋dzie jednak coraz bardziej mala艂o do 0. |
| strony: 1 2 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj