Analiza matematyczna, zadanie nr 4694

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
tomek987 postów: 103	2016-06-13 21:42:28 Oblicz $\lim_{n \to \infty}$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\frac{x*(sinx)^{n}}{\sqrt{1+(sinx)^{n}}}$

tumor postów: 8070	2016-06-13 21:52:03 Zauważamy, że wewnątrz przedziału $(0,\frac{\pi}{2})$ funkcja $sinx$ przyjmuje wartości z (0,1). Takie liczby podnoszone do kolejnych potęg zbliżają się do 0. Wobec tego dla $x\in (0,\frac{\pi}{2})$ kolejne funkcje pod znakiem całki będą mieć licznik coraz bliższy 0, mianownik zawsze większy niż 1.

tomek987 postów: 103	2016-06-13 22:21:34 Ok, czyli funkcja podcałkowa dąży do zera, ale czy to oznacza, że cała całka dąży do 0?

tumor postów: 8070	2016-06-13 22:26:22 I tak i nie. Całka tak, funkcja podcałkowa nie dąży wcale do 0, bo jej prawostronną granicą jest zawsze $\frac{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1+1}}$. Narysuj sobie na jednym wykresie (można online) funkcje podcałkowe dla n=1, n=10 i n=1000

tomek987 postów: 103	2016-06-14 18:32:02 Rozumiem. W takim razie trzeba to zrobić z 3 ciągów, tylko jakie ciągi wybrać z góry i z dołu? Tzn. Poproszę o konkretne rozwiązanie, takie modelowe

tumor postów: 8070	2016-06-14 19:04:15 A guzik. Po pierwsze rozważ całkę $\int_0^a$ dla tej samej funkcji, tylko z $0<a<\frac{\pi}{2}$. Znajdź maksimum tej funkcji, oznaczmy je $M$, żeby dało się spokojnie ograniczyć tę całkę z góry przez $aM$. W miarę jak $M$ rośnie do nieskończoności, maleć będzie $M$, wobec tego maleć też będzie $aM$. Całka ta od naszej różni się o mniej niż $(\frac{\pi}{2}-a)*\frac{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1+1}}$. Wobec tego możemy zawsze dobrać $a$ w ten sposób, by całki różniły się o dowolnie mały $\epsilon$. Zatem dla dowolnie małego $\epsilon$ dostajemy dwie całki różniące się maksymalnie o $\epsilon$, z tego jedna jest ograniczona przez wyrażenie dążące w granicy do 0. Zapisanie tego krzakami to się zawsze zostawia komuś mniej doświadczonemu, bo to nuda. Policzyć maksimum w przedziale $[0,a]$ jest łatwo, ale pochodna wychodzi na tyle długa, że za darmo jej nie przepiszę.

tomek987 postów: 103	2016-06-14 19:48:24 Obliczyłem miejsca zerowe pochodnej i zeruje się ona dla x=0 i $x=\pi/2$ i maksimum jest w $x=\pi/2$ czy to jest ok?

tomek987 postów: 103	2016-06-14 19:57:54 I rzeczywiście dla $x=\pi/2$ wartość funkcji jest $\frac{\pi}{2\sqrt{2}}$

tumor postów: 8070	2016-06-14 19:58:53 Jeśli $a<\frac{\pi}{2}$, a to napisałem wyżej, to maksimum funkcji w przedziale $[0,a]$, o którym pisałem wyżej, nie może przypadać na $x=\frac{\pi}{2}$. Po drugie nie głupiej od matematyki. Myśl. Funkcja $f(x)=\mid x \mid$ ma OCZYWISTE minimum, którego nie znajdziesz przez przyrównanie pochodnej do 0. Metoda zadziała gdy będziesz szukać ekstremum lokalnego funkcji różniczkowalnej w przedziale otwartym, ale to nie znaczy, że jest ogólną metodą wyszukiwania maksimum. Proponuję po prostu sprawdzić znak pochodnej w przedziale $[0,a]$ --- [cenzura] [cenzura] ale ma inteligencję. Jeśli zaczniesz stosować bez pomyślunku metody jak kalkulator, to przegrasz NAWET z kalkulatorem. Nie opłaca się. Zawsze pamiętaj, co robisz, po co robisz, czemu decydujesz się na metodę. To daje nam, póki co, nad kalkulatorami przewagę.

tomek987 postów: 103	2016-06-14 20:07:21 Ok, już w pełni się mobilizuję! Funkcja jest rosnąca, więc minimum funcji jest w $x=0$ a maksimum będzie w $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}$. Dla coraz większych n to maksimum będzie jednak coraz bardziej malało do 0.

strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj