Teoria mnogo艣ci, zadanie nr 4701
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
geometria post贸w: 865 |  2016-06-14 18:34:38Jaka moc maja nastepujace zbiory? a) A={(x,y)$\in Q^{2}$: $x^{2}+y^{2}=1$} b) B={(x,y)$\in R^{2}$: $x^{2}+y^{2}=1$} c) zbi贸r punkt贸w okregu o promieniu 2 na p艂aszczyznie, czyli C={(x,y)$\in R^{2}$: $x^{2}+y^{2}=2$} a) |A|=$\aleph_{0}$ b), c) maja c. Zbiory B i C sa ograniczone z gory przez $R^{2}$. Wystarczy ograniczyc je z dolu. Albo za pomoca funkcji f:$R$$\rightarrow$$R\times R$; f(x)=(sinx, cosx) dla x$\in$[0,2$\pi$] i udowodnic, ze jest bijekcja. Tylko dlaczego akurat taka dobrze jest wziac? Zbior A tez bedzie ograniczony przez $R^{2}$, ale to nam raczej nie pomoze. |
tumor post贸w: 8070 | 2016-06-14 19:13:50 c) nie tak si臋 zapisuje okr膮g o promieniu 2, przypominamy sobie gimnazjum. ;) bijekcja, kt贸r膮 podajesz, jest dostatecznie podobna do wsp贸艂rz臋dnych biegunowych, bym m贸g艂 powiedzie膰, 偶e to u偶yteczny spos贸b rozumowania. I w topologii i w analizie i w geometrii pewna odpowiednio艣膰 prostej i okr臋gu (bez punktu) ma swoje zastosowania. Dlatego warto t臋 bijekcj臋 przemy艣le膰. Jest natomiast b艂膮d w zapisie. Po pierwsze nie $f:R\to R\times R$, bo skoro piszesz $x\in [0,2\pi]$, to ten przedzia艂 jest dziedzin膮, a nie $R$. Po drugie przedzia艂 ma by膰 z jednej strony otwarty, 偶eby to raczy艂a by膰 bijekcja, a poza tym b臋dzie to bijekcja na okr膮g, a nie na ca艂y $R^2$. a) rozumiem dow贸d, dlaczego $\mid A \mid \le \aleph_0$, skoro A jest podzbiorem $Q^2$. Ale sk膮d wiesz, 偶e tak偶e $\aleph_0 \le \mid A \mid$? Mo偶esz to uzasadni膰? Sk膮d wiesz, 偶e niesko艅czenie wiele punkt贸w okr臋gu ma obie wsp贸艂rz臋dne wymierne? :> |
geometria post贸w: 865 | 2016-06-14 20:15:27 C={(x,y)$\in R^{2}$: $x^{2}+y^{2}$=4}. Wspolrzedne biegunowe: x=rcos(kata) y=rsin(kata) r-promien. Dla c): C-okrag. r=2 f: [0,2$\pi$)$\rightarrow C$ f(x)=(x,y)=(rcosx, rsinx), czyli f(x)=(2cosx, 2sinx). Czy teraz dobrze? Wystarczy wykazac, ze jest to bijekcja, wowczas [0,2$\pi$)$\sim$C,ale [0,2$\pi$)$\sim R$ zatem C$\sim R$, czyli |C|=c. Dla b) analogicznie (tylko r=1). a) nie wiem jaka ma byc odp. tylko mi sie wydawalo, ze |A|=$\aleph_{0}$. Czy jak pokazemy, ze istnieje funkcja roznowartosciowa z A w $N$ to wystarczy? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-06-14 20:35:07 dla c) chyba super, bo teraz wygl膮da rozs膮dnie. dla a) wystarczy pokaza膰 funkcj臋 r贸偶nowarto艣ciow膮 z N w A, nie z A w N. Gdy poka偶esz z A w N to b臋dziesz wiedzie膰 to, co ju偶 wiesz, 偶e najwy偶ej $\aleph_0$. Potrzebujesz informacji, 偶e co najmniej $\aleph_0$, czyli albo suriekcja z A na N, albo iniekcja z N w A. Natomiast niesko艅czono艣膰 A pokazywa艂bym inaczej. Dawaj jaki艣 pomys艂. |
geometria post贸w: 865 | 2016-06-14 20:48:44 a) nie wiem moze cos z faktu, ze $Q^{2}$$\sim Q$? |
geometria post贸w: 865 | 2016-06-14 20:52:11 w sensie, ze |A|$\ge \aleph_{0}$ to tamto raczej nie bedzie dobre |
tumor post贸w: 8070 | 2016-06-14 21:26:52 We藕 to ch艂opskim rozumem. Masz zbi贸r, kt贸ry na pewno jest przeliczalny, mo偶e by膰 sko艅czony lub nie. Oczywi艣cie poznajesz na studiach pewne metody, kt贸re pozwalaj膮 co艣 rozwi膮za膰, ale nie tra膰 umiej臋tno艣ci pokombinowania. Przemy艣l te wsp贸艂rz臋dne, zastan贸w si臋. Dla przyk艂adu matematycy staro偶ytnej Grecji nie mieliby wi臋kszych problem贸w z odpowiedzi膮 na pytanie, gdyby tylko im skonkretyzowa膰 poj臋cie liczb wymiernych. Metody naprawd臋 elementarne, niekorzystaj膮ce z dorobku nowoczesnej teorii mnogo艣ci, wystarczaj膮 do odpowiedzi, czy punkt贸w o obu wsp贸艂rz臋dnych wymiernych jest sko艅czenie wiele, czy niesko艅czenie wiele. Ale rozumem to we藕, a nie na si艂臋 jak膮艣 z g贸ry upatrzon膮 metod膮 (w rodzaju bijekcji, kt贸ra dla mnie jest mocno nieoczywista) |
geometria post贸w: 865 | 2016-06-14 22:38:52 Punkt贸w o obu wsp贸艂rz臋dnych wymiernych jest niesko艅czenie wiele, bo liczb wymiernych jest nieskonczenie wiele. |
tumor post贸w: 8070 | 2016-06-14 22:55:30 A sk膮d wiesz, 偶e punkty na okr臋gu nie maj膮 JEDNEJ wsp贸艂rz臋dnej wymiernej, a drugiej niewymiernej? Popatrzmy Je艣li mamy okr膮g jednostkowy, to je艣li $x=\frac{1}{20}$ to $y=\pm \frac{\sqrt{399}}{20}$ $x=\frac{2}{20}$ to $y=\pm \frac{\sqrt{99}}{10}$ $x=\frac{3}{20}$ to $y=\pm \frac{\sqrt{391}}{20}$ $x=\frac{4}{20}$ to $y=\pm \frac{\sqrt{24}}{5}$ $x=\frac{5}{20}$ to $y=\pm \frac{\sqrt{15}}{4}$ Poka偶 mi, 偶e punkt贸w NA OKR臉GU, kt贸re maj膮 OBIE WSP脫艁RZ臉DNE WYMIERNE jest niesko艅czenie wiele. Na razie 偶aden Tw贸j argument nie wystarcza. Prosta $y=\pi$ ma niesko艅czenie wiele punkt贸w, ale wszystkie maj膮 co najmniej jedn膮 wsp贸艂rz臋dn膮 niewymiern膮. Prosta $y=\pi x$ ma dok艂adnie JEDEN punkt o obu wsp贸艂rz臋dnych wymiernych, mimo i偶 wszystkich punkt贸w ma niesko艅czenie wiele. Zatem? Jak ju偶 艣pisz, to na rano zostaw. :) Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-06-14 22:56:39 przez tumor |
geometria post贸w: 865 | 2016-06-15 09:02:55 Prosta $y=\pi x$ ma (0,0) jako jedyny punkt o dwoch wspolrzednych wymiernych. Zbior A to zbior punktow okregu o obu wspolrzednych wymiernych. Inaczej mozna zapisac tak: A={(x,y)$\in R^{2}$: x$\in Q \wedge y\in Q \wedge x^{2}+y^{2}=1$}. Jak pokazac, ze punktow na okregu o obu wspolrzednych wymiernych jest nieskonczenie wiele? Wczesniej byla mowa o skonkretyzowaniu poj臋cia liczb wymiernych. Liczby wymierne to ilorazy liczb calkowitych. Moze sprobujmy utozsamic ulamek $\frac{x}{y}$ z para (x,y). Ulamek $\frac{x}{y}$ jest liczba wymierna. Takich ulamkow jest nieskonczenie wiele, bo liczb wymiernych jest nieskonczenie wiele. Zatem par (x,y) jest nieskonczenie wiele. Czy to jest poprawne i czy to byl dobry pomysl? |
| strony: 1 2 3 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj