Teoria mnogości, zadanie nr 4701

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
tumor postów: 8070	2016-06-15 09:16:47 Gdy liczysz nieskończenie wiele ułamków, to liczysz takie: $\frac{1}{2}, \frac{3}{5}, \frac{121451}{2435234}$ czy sądzisz, że punkty $(1,2),(3,5),(121451,2435234)$ leżą na okręgu o promieniu 1? Wszystkich ułamków jest nieskończenie wiele i wszystkich punktów jest nieskończenie wiele. Pytanie jest jednak o część ułamków, które da się przerobić na punkty okręgu. Część wspólna dwóch zbiorów nieskończonych wcale nie musi być zbiorem nieskończonym. Pokazałem przykład dwóch prostych, żeby było widać, że łatwo o obiekt geometryczny, który mimo tego, że się składa z nieskończenie wiele punktów, wcale nie ma zbyt wielu punktów O OBU WSPÓŁRZĘDNYCH WYMIERNYCH. Weźmy krzywą $y=e^x$. To inny przykład. Ona też ma tylko JEDEN punkt o obu współrzędnych wymiernych, jest to (0,1). Jeśli x jest wymierny niezerowy, to jest algebraiczny, a wtedy $y=e^x$ jest liczbą przestępną, czyli niewymierną. Zatem tak naprawdę ŁATWO o krzywą, która przechodzi przez nieskończenie wiele punktów, ale wcale nie ma nieskończenie wielu punktów o obu współrzędnych wymiernych. A teraz mamy okrąg. Może on jest taki jak $e^x$ i prawie nie ma punktów o obu współrzędnych wymiernych? A może jednak ma ich nieskończenie wiele? (A może nawet są one gęsto rozłożone na okręgu? Co jest ciekawym pytaniem teoretycznym, ale się nie będziemy nim zajmować) No i takie pytanie poboczne. Czy Twoja argumentacja by Cię przekonała? Bo wydaje mi się, że łatwo ją zastosować do wielu przykładów, w których ewidentnie NIE ma nieskończenie wielu punktów o obu współrzędnych wymiernych. :) To znów taka uwaga na marginesie, dotycząca traktowania matmy. Uczeń liceum się rzadko zastanawia, jak to się dzieje, że coś działa. On kuje wzory i stosuje wzory. Natomiast matematyk wypracowując metodę musi sam siebie zapytać, czy go to przekonuje. No i nie może być optymistyczny "a może tak zrobimy i będzie ok", tylko to sprawdza. Szuka w tym wad. Dzięki temu matematyka jest o wiele pewniejsza niż jakakolwiek inna nauka. Status potwierdzenia w matematyce poprzez dowód jest czymś nieosiągalnym w żadnej innej nauce. Zachowujemy to. Masz w ogóle pewność, że punktów na okręgu o obu współrzędnych wymiernych jest nieskończenie wiele? Ile ich umiesz wymienić? Może wymienianie pozwoli znaleźć metodę dowodu?

geometria postów: 865	2016-06-15 09:47:19 Czyli zbior D={(x,y)$\in Q^{2}$:$y=e^{x}$}={(0,1)}, to zbior D jest skonczony, przeliczalny i \|D\|=1. Odnosnie tego okregu: Na pewno sa cztery takie punkty (-1,0), (1,0), (0,-1), (0,1). Innych nie widze, a przynajmniej nie potrafie znalezc.

tumor postów: 8070	2016-06-15 10:03:17 szukaj jeszcze. :) Mogę podpowiedzieć, no ale nie będzie zabawy. $(\frac{63}{65},\frac{16}{65})$ :P

geometria postów: 865	2016-06-15 10:37:19 y=$\frac{k}{n}$ x=$\sqrt{1-y^{2}}$=$\sqrt{\frac{n^{2}-k^{2}}{n^{2}}}$

geometria postów: 865	2016-06-15 10:43:32 x=$\frac{3}{5}$ y=$\frac{4}{5}$

tumor postów: 8070	2016-06-15 10:58:42 Znakomicie. Masz już regułę? Widać ją w tym zapisie z pierwiastkami.

geometria postów: 865	2016-06-15 11:03:40 x=$\frac{8}{10}$ y=$\frac{6}{10}$ x=$\frac{12}{15}$ y=$\frac{9}{15}$ Mysle, ze bedzie ich nieskonczenie wiele. Zauwazam jakies wielokrotnosci, ale pelne uzasadnienie.

geometria postów: 865	2016-06-15 11:04:59 Licznik musi byc liczba wymierna.

tumor postów: 8070	2016-06-15 11:08:53 Na razie podajesz jeden przykład, nie trzy. :) Możesz sobie narysować swoje rozwiązania w układzie współrzędnych i zauważyć, że każde opisuje ten sam punkt (lub, co najwyżej, symetryczny). :) Masz rację od początku, że będzie ich nieskończenie wiele, ale jeszcze nie mamy uzasadnienia tego faktu. Na razie znaleźliśmy 20 punktów (cztery przecięcia z osiami, mój punkt i 7 do niego symetrycznych, Twój punkt i 7 do niego symetrycznych). symetria polega na zamianie x,y miejscami i/lub dodaniu minusów. Wiadomość była modyfikowana 2016-06-15 11:10:45 przez tumor

geometria postów: 865	2016-06-15 11:28:03 Skoro jest ich nieskonczenie wiele to wszystkich nie znajdziemy. Jaka regula? $\sqrt{n^{2}-k^{2}}$ musi byc liczba naturalna. Zawsze znajdziemy takie liczby calkowite k, n, ktorych pierwiastek z roznicy kwadratow bedzie naturalny? Juz sam nie wiem.

strony: 1 2 3

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj