Topologia, zadanie nr 4850
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
klos post贸w: 21 |  2016-10-09 18:16:271) Dana jest przestrze艅 metryczna (X,d). Okre艣lmy funkcj臋 g:X$\times$X$\rightarrow$[0,$\infty$) wzorem g(x,y):= $\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}$. Pokaza膰, 偶e g jest r贸wnie偶 metryk膮 w X oraz X jest zbiorem ograniczonym w przestrzeni (X,g). Wykaza膰, 偶e metryki d i g s膮 r贸wnowa偶ne. To samo co wy偶ej pokaza膰 dla funkcji n(x,y):= min{g(x,y),1} 2) Wykaza膰, 偶e w dowolnej przestrzeni metrycznej X dla dowolnych $x_{1}$, $x_{2}$ $\in$X, $x_{1}$$\neq$$x_{2}$ istniej膮 liczby $r_{1}$, $r_{2}$>0 takie, 偶e K($x_{1}$,$r_{1}$)$\cap$K($x_{2}$, $r_{2}$)=$\emptyset$. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-10-09 18:16:44 przez klos |
tumor post贸w: 8070 | 2016-10-09 18:42:58 1) to ja wyka偶臋, 偶e to zbi贸r ograniczony. Ograniczeniem g贸rnym warto艣ci funkcji g jest 1. Bo licznik jest dodatni lub zerowy, a mianownik jest dodatni i wi臋kszy od licznika. 呕eby wykaza膰, 偶e to metryka, pokazujemy spe艂nianie trzech warunk贸w metryki. Dwa s膮 prawie zawsze banalnie proste, jeden bywa trudniejszy. Poka偶 swoje obliczenia. 2) W przestrzeni metrycznej $d(x_1,x_2)>0$ wystarczy wzi膮膰 ku chwale Szatana $r_1=r_2=\frac{d(x_1,x_2)}{666}$ i pokaza膰, 偶e z takimi promieniami kule nie mog膮 mie膰 punktu wsp贸lnego (taki punkt wsp贸lny mia艂by odleg艂o艣ci od 艣rodk贸w kul kr贸tsze od promieni, a metryka spe艂nia warunek tr贸jk膮ta..) |
klos post贸w: 21 | 2016-10-10 11:31:32 1) g(x,y)=0 poniewa偶 licznik, czyli d(x,y)=0 (wtedy x=y) bo d jest metryk膮 g(x,y)=$\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}$=$\frac{d(y,x)}{1+d(y,x)}$=g(y,x) warunek tr贸jk膮ta ? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-10-10 11:46:07 Wiemy $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$ a chcemy pokaza膰 $ \frac{d(x,z)}{1+d(x,z)} \le \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)} + \frac{d(y,z)}{1+d(y,z)}$ 呕adnego pomys艂u? To wskaz贸wka b臋dzie taka. Za艂贸偶my, 偶e liczby a,b s膮 nieujemne. Por贸wnaj prosz臋 u艂amki $\frac{a}{1+a}$ oraz $\frac{a+b}{1+a+b}$ czyli wybierz znak $=,<,>,\le,\ge$ A gdy ju偶 b臋dziesz wiedzia艂, to sprowad藕 $\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)} + \frac{d(y,z)}{1+d(y,z)}$ do wsp贸lnego mianownika |
klos post贸w: 21 | 2016-10-11 16:58:10 tak szczerze to sprowadzam to i nic nie widz臋, ale to n(x,y) to wydaje mi si臋, 偶e b臋dzie tak : 1 warunek : min{g(x,y),1}=min{0,1}=0 bo g jest metryk膮, 2 warunek : n(x,y)=min{g(x,y),1}=min{g(y,x),1}=n(y,x) bo g jest metryk膮 3 warunek : min{g(x,y),1}$\le$min{g(x,z),1} + min{g(z,y),1} czyli g(x,y)$\le$g(x,z)+g(z,y) a to jest spe艂nione bo g jest metryk膮 (je艣li udowodnimy, 偶e g spe艂nia 3. warunek) ? Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-10-11 16:58:35 przez klos |
tumor post贸w: 8070 | 2016-10-11 17:55:19 Tak szczerze to mi si臋 nie 艣pieszy. B臋dziemy kontynuowa膰 przyk艂ad, gdy zapiszesz obliczenia, o kt贸re prosi艂em. Natomiast w przypadku $n(x,y)$ zn贸w stajesz na warunku tr贸jk膮ta. To popatrzmy Wiemy $g(x,z)\le g(x,y)+g(y,z)$ Je艣li co najmniej jeden sk艂adnik po prawej jest r贸wny 1, to ju偶 nie ma co sprawdza膰. Czyli sprawdzamy tylko dla $g(x,y)<1$ oraz $g(y,z)<1$, no ale wtedy u偶ywamy po prostu warunku metryki $min(g(x,z),1)\le g(x,z) \le g(x,y)+g(y,z)$ |
klos post贸w: 21 | 2016-10-12 10:57:50 $\frac{d(x,y)(1+d(y,z)) + d(y,z)(1+d(x,y))}{(1+d(x,y))(1+d(y,z))}$ |
tumor post贸w: 8070 | 2016-10-12 11:02:58 Bardzo 艂adnie. Mo偶esz wymno偶y膰 jeszcze te nawiasy. A potem powiedz, kt贸ry u艂amek dla nieujemnych a,b jest wi臋kszy (lub r贸wny) od drugiego: $\frac{a}{1+a}$ czy $\frac{a+b}{1+a+b}$ |
klos post贸w: 21 | 2016-10-12 19:32:57 Ten drugi jest wi臋kszy. $\frac{d(x,z)}{1+ d(x,z)}$$\le$ $\frac{d(x,y) + d(y,z) + 2d(x,y)d(y,z)}{1 + d(x,y) + d(y,z) + d(x,y)d(y,z)}$ ? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-10-12 20:14:07 Pytasz, zatem nie widzisz. Po pierwsze $a=d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)=a+b$ zatem $\frac{a}{1+a}=\frac{d(x,z)}{1+d(x,z)}\le \frac{d(x,y)+d(y,z)}{1+d(x,y)+d(y,z)}=\frac{a+b}{1+a+b}$ w艂a艣nie w zwi膮zku z t膮 nier贸wno艣ci膮 mi臋dzy u艂amkami, prawda? A do tego $\frac{c}{1+c}=\frac{d(x,y)+d(y,z)}{1+d(x,y)+d(y,z)} \le \frac{d(x,y)+d(y,z)+d(x,y)d(y,z)}{1+d(x,y)+d(y,z)+d(y,z)+d(x,y)d(y,z)} =\frac{c+g}{1+c+g}\le \frac{c+2g}{1+c+g}= \frac{d(x,y)+d(y,z)+2d(x,y)d(y,z)}{1+d(x,y)+d(y,z)+d(y,z)+d(x,y)d(y,z)}$ co wynika te偶 z tej nier贸wno艣ci. gdzie a,b,c,g nieujemne. Gdyby mog艂y by膰 ujemne, to by si臋 skomplikowa艂o, ale tak si臋 nie komplikuje. |
| strony: 1 2 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj