Analiza matematyczna, zadanie nr 4870
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
mate_matykaa post贸w: 117 |  2016-10-15 19:15:34zbadaj zbieznosc punktow膮 i jednostajn膮 ci膮gu funkcyjnego, narysuj wykres kilku pierwszych wyraz贸w ci膮gu $f_{n}$=x$(cosx)^{n}$ , x$\in$ [0,$\pi$/2] powiem tyle, ze kompletnie nie wiem od czego zacz膮膰 zeby to zrobic, bo tak na prawde jakichs zada艅 nie robilismy na zaj臋ciach, a jakims cudem mamy to zrobic i umie膰 ;/ |
mate_matykaa post贸w: 117 | 2016-10-15 19:18:27 wiem tyle, 偶e $f_{n}$(0)=0, $f_{n}$($\pi$/2)=0, czyli jest to funkcja graniczna=0 ? (jak to zapisa膰?) nawet nie wiem czy to potrzebne jest;/ |
tumor post贸w: 8070 | 2016-10-15 19:45:03 We藕 jaki艣 x. Ju偶 mamy za艂atwione x=0 oraz $x=\frac{\pi}{2}$, no ale pozostaj膮 wszystkie pomi臋dzy nimi. Je艣li $x\in (0, \frac{\pi}{2})$, to $f_n(x)=xcos^nx$ Zauwa偶, 偶e je艣li b臋dziemy dla ustalonego x zwi臋ksza膰 n, to ca艂o艣膰 maleje do 0 (bowiem podnosimy liczb臋 dodatni膮, mniejsz膮 od 1, do coraz wy偶szych pot臋g naturalnych). Wobec gdyby艣my mieli taki ci膮g $f_1(x),f_2(x),f_3(x),...$ to jego granic膮 by艂oby 0 dla ka偶dego x z przedzia艂u [0, $\frac{\pi}{2}]$. Skoro liczymy dla ka偶dego punktu x oddzielnie t臋 granic臋, a dopiero potem 艂膮czymy je w funkcj臋, to taka granica nosi nazw臋 punktowej. Tu to funkcja sta艂a r贸wna 0 (bo dla ka偶dego x z interesuj膮cego nas przedzia艂u). ---- Teraz kr贸tko o \"odleg艂o艣ci\" mi臋dzy dwiema funkcjami. Gdy masz dwa wykresy dla tej samej dziedziny D, powiedzmy funkcji f i g, mo偶emy rozwa偶a膰 $sup_D |f(x)-g(x)|$, czyli kres g贸rny r贸偶nic mi臋dzy f i g dla poszczeg贸lnych punkt贸w dziedziny D. Podobnie dla ci膮gu funkcji $f_n$ mo偶emy rozwa偶a膰 $sup_D |f(x)-f_n(x)|$, czyli w pewnym sensie \"odleg艂o艣ci\" mi臋dzy kolejnymi funkcjami $f_n$ a funkcj膮 f. Niech to f oznacza granic臋 punktow膮 ci膮gu $f_n$, kt贸r膮 podali艣my sobie wy偶ej. Je艣li odleg艂o艣ci te malej膮 do zera, czyli ci膮g suprem贸w ma granic臋 0 $\lim_{n \to \infty }sup_D |f(x)-f_n(x)|=0$ to zbie偶no艣膰 jest jednostajna. W ka偶dym innym przypadku nie jest jednostajna. Zbie偶no艣膰 punktowa nie musi wcale oznacza膰 jednostajnej. Punktowa m贸wi, 偶e dla ka偶dego punktu pr臋dzej czy p贸藕niej (z rosn膮cym n) zbli偶ymy si臋 do odpowiedniej granicy, a jednostajna m贸wi, 偶e to zbli偶anie zachodzi w pewnym sensie \"jednostajnie\", czyli 偶e funkcje zbli偶aj膮 si臋 do siebie tak偶e w tych miejscach, gdzie maj膮 do siebie najdalej. Taki przyk艂ad. We藕my $f_n=arcctg(x+n)$ Funkcja $arcctg(x)$ jest w niekt贸rych miejscach dowolnie bliska 0, w innych dowolnie bliska $\pi$. Podobnie nasze funkcje $f_n$. Ale te funkcje tworzymy tak, 偶e wyj艣ciow膮 przesuwamy coraz bardziej w lewo. Czyli te punkty, kt贸re mia艂y warto艣ci dalsze od 0, maj膮 dla rosn膮cego n warto艣ci coraz bli偶sze 0. I tu tak偶e granic膮 punktow膮 jest $f(x)=0$. Jednak偶e zawsze b臋d膮 istnie膰 punkty (to znaczy, gdy dziedzin臋 we藕miemy np ca艂e R, bo dla przedzia艂u ograniczonego nie jest to prawd膮) dla kt贸rych warto艣ci b臋d膮 dowolnie bliskie $\pi$. Czyli, intuicyjnie, funkcja opada do 0 najpierw w jednych miejscach, a gdzie indziej jest ci膮gle od 0 tak daleko jak na pocz膮tku. Tak rozumiemy niejednostajno艣膰. |
mate_matykaa post贸w: 117 | 2016-10-15 20:11:22 czyli z tego pierwszego wynika ze ten ci膮g jest zbie偶ny punktowo? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-10-15 20:19:05 Punktowo zbie偶ny jest ka偶dy ci膮g funkcyjny, w kt贸rym dla ka偶dego x dziedziny zbie偶ny jest $f_n(x)$. Niekt贸re ci膮gi zbie偶ne punktowo s膮 jeszcze zbie偶ne jednostajnie, gdy spe艂niony jest warunek z supremum. |
mate_matykaa post贸w: 117 | 2016-10-15 20:40:10 ok w ko艅cu jakos to zrozumia艂am .. tylko, 偶e teraz mam problem z tym wykresem, np gdybym chcia艂a narysowac trzech pierwszych wyraz贸w ci膮gu? to jak to bedzie wygl膮dac i czy przy tym wykresie ma by膰 tez wykres zwyk艂ej cosinusoidy dla przedzia艂u [0,$\pi$/2 ] ? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-10-15 21:01:24 U偶yj jakiej艣 strony z wykresami online. Narysuj wykres funkcji $xcosx$ $xcos^2x$ $xcos^3x$ $xcos^{10}x$ $xcos^{100}x$ bierzemy pod uwag臋 tylko przedzia艂, o kt贸rym mowa w zadaniu. Zauwa偶, jak si臋 ca艂y wykres coraz bardziej si臋 rozp艂aszcza (nie idealnie tak samo w ka偶dym punkcie, ale ten punkt, kt贸ry jest najdalej od osi OX, z ka偶d膮 pot臋go jest bli偶ej) |
mate_matykaa post贸w: 117 | 2016-10-15 21:12:22 geogebra bedzie dobra? tam zrobi艂am i co艣 wysz艂o:) |
mate_matykaa post贸w: 117 | 2016-10-15 21:35:21 a gdy mam jeszcze znale藕膰 sobie jakikolwiek argument i do niego zapisa膰 wz贸r tego ci膮gu i zaznaczyc na wykresie, to zaznaczam i szukam na tych wykresach co poprzednio narysowa艂am? to tym przyk艂adem mo偶e byc x=0,5 i jak zaznaczam w geogebrze na wykresie przy x*cos$x^{3}$ to wychodzi mi y=0,34, ale jak mam zapisac wz贸r? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-10-15 21:44:50 Pewnie. 艁adnie poka偶e. A mo偶esz to samo zrobi膰 dla wykres贸w $f_n(x)=cos^nx$ dla przedzia艂u (0,1). Mimo i偶 granic膮 punktow膮 w tym przedziale jest te偶 0, to jednak ka偶dy z wykres贸w f_n b臋dzie mia艂 najwy偶szy punkt r贸wnie daleko od osi OX, nie b臋d膮 si臋 te wykresy jednostajnie zni偶a膰. --- W liceum by艂y ci膮gi. Na studiach te偶 ju偶 by艂y ci膮gi. Dla x=0,5 mamy ci膮g $0,5cos(0,5)$ $0,5cos^2(0,5)$ $0,5cos^3(0,5)$ $0,5cos^4(0,5)$ $0,5cos^5(0,5)$ i tak dalej. Ka偶dy z tych punkt贸w le偶y na innym wykresie --- Uwaga Nie myl $xcos^3x$ z $xcosx^3$ |
| strony: 1 2 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj