logowanie

matematyka » analiza » ciągi liczbowe » granica ciągu

Granica ciągu

Przedział (x0 - ε, x0 + ε) nazywamy otoczeniem o promieniu ε > 0 punktu x0 i oznaczamy symbolem U(x0, ε).

Sumę przedziałów (x0 - ε, x0) ∪ (x0, x0 + ε) nazywamy sąsiedztwem o promieniu ε > 0 punktu x0 i oznaczamy symbolem S(x0, ε).

Ciąg (an) jest zbieżny do g (ma granicę g), jeżeli dla każdego ε > 0 istnieje taka liczba k ∈ N+, że dla każdego n > k jest spełniona nierówność |an - g| < ε.

Inaczej mówiąc liczba g jest granicą ciągu (an) wtedy, gdy prawie wszystkie wyrazy tego ciągu należą do otoczenia U(g, ε).
Zdanie "Liczba g jest granicą ciągu (an)" zapisujemy
              lim n a n = g    lub    a n n g .

Powyższa definicja w zapisie logicznym ma postać:
                lim n a n = g ε>0 kN+ n>k | an - g | < ε


Granica niewłaściwa ciągu
Oprócz ciągów zbieżnych istnieją ciągi, które nie mają granicy. Takie ciągi nazywamy rozbieżnymi. Wśród ciągów rozbieżnych na szczególną uwagę zasługują ciąg rozbieżne do -∞ lub +∞.

Ciąg (an) jest rozbieżny do +∞, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od M, co zapisujemy lim n a n = +∞
                lim n a n = +∞ MR kN+ n>k an > M

Ciąg (an) jest rozbieżny do -∞, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od M, co zapisujemy lim n a n = -∞
                lim n a n = -∞ MR kN+ n>k an < M


Twierdzenia z teorii granic ciągów
Działania na granicach ciągów





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 95 drukuj