Twierdzenia z teorii granic ciągów

Twierdzenie o ciągu monotonicznym
Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny, przy czym:
- ciąg niemalejący i ograniczony z góry jest zbieżny do granicy, która jest kresem górnym zbioru jego wartości,
- ciąg nierosnący i ograniczony z dołu jest zbieżny do granicy, która jest kresem dolnym zbioru jego wartości,

Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.

Twierdzenie Bolzano-Weierstassa
Z dowolnego ciągu ograniczonego można zawsze wyjąć podciąg zbieżny.

Warunek Cauchy'ego.
Na to, aby ciąg (a_n) był zbieżny potrzeba i wystarcza, aby dla każdego ε > 0 istniała taka liczba naturalna k, żeby dla n > k i m > k zachodzi nierówność
|a_n - a_m| < ε.

Twierdzenie o trzech ciągach
$\begin{matrix} \underset{k \in N^{+}}{\exists} \underset{n > k}{\forall} a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n} \\ lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} b_{n} = g \end{matrix}\} \Rightarrow lim_{n \to \infty} c_{n} = g$

Twierdzenie o ciągu średnich arytmetycznych
$lim_{n \to \infty} a_{n} = g \Rightarrow lim_{n \to \infty} \frac{a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}}{n} = g$

Twierdzenie o ciągu średnich geometrycznych
$\underset{n \in N^{+}}{\forall} (a_{n} \geq 0 \land lim_{n \to \infty} a_{n} = g) \Rightarrow lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{1} a_{2} ... a_{n}} = g$