logowanie

matematyka » analiza » ciągi liczbowe » granica ciągu » twierdzenia z teorii granic ciągów

Twierdzenia z teorii granic ciągów

Twierdzenie o ciągu monotonicznym
Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny, przy czym:
    - ciąg niemalejący i ograniczony z góry jest zbieżny do granicy, która jest kresem górnym zbioru jego wartości,
    - ciąg nierosnący i ograniczony z dołu jest zbieżny do granicy, która jest kresem dolnym zbioru jego wartości,


Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.


Twierdzenie Bolzano-Weierstassa
Z dowolnego ciągu ograniczonego można zawsze wyjąć podciąg zbieżny.


Warunek Cauchy'ego.
Na to, aby ciąg (an) był zbieżny potrzeba i wystarcza, aby dla każdego ε > 0 istniała taka liczba naturalna k, żeby dla n > k i m > k zachodzi nierówność
          |an - am| < ε.


Twierdzenie o trzech ciągach
kN+ n>k an cn bn lim n a n = lim n b n = g lim n c n = g


Twierdzenie o ciągu średnich arytmetycznych
           lim n a n = g lim n a1 + a2 + ... + an n = g


Twierdzenie o ciągu średnich geometrycznych
           nN+ ( an 0 lim n a n = g ) lim n a1 a2 ... an n = g






© 2018 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 78 drukuj