logowanie

Iloczyn skalarny

Iloczynem skalarnym wektorów ${\displaystyle \overrightarrow{u}}$ i ${\displaystyle \overrightarrow{w}}$ nazywamy liczbę równą iloczynowi długości obu wektorów i kosinusa kąta jaki tworzą.
${\displaystyle \overrightarrow{u}}o{\displaystyle \overrightarrow{w}}={\displaystyle \overrightarrow{\left|u\right|}}{\displaystyle \overrightarrow{\left|w\right|}}\cos \angle ({\displaystyle \overrightarrow{u}},{\displaystyle \overrightarrow{w}})$

Iloczyn skalarny można zinterpretować jako wartość równą iloczynowi długości jednego wektora i miary rzutu drugiego wektora na kierunek wyznaczony przez pierwszy wektor. Iloczyn skalarny jest przemienny łączny i rozdzielny względem dodawania.

Z określenia iloczynu skalarnego wynika, że dwa wektory niezerowe są wtedy i tylko wtedy prostopadłe, gdy ich iloczyn skalarny jest równy zero.

Płaszczyzna

Jeżeli ${\displaystyle \overrightarrow{u}}=\text{ i }{\displaystyle \overrightarrow{w}}=$, to
${\displaystyle \overrightarrow{u}}o{\displaystyle \overrightarrow{w}}=u_x{w}_x+u_y{w}_y$

Korzystając z definicji iloczynu skalarnego można wyznaczyć kąt między wektorami ze wzoru:
$\cos \angle ({\displaystyle \overrightarrow{u}},{\displaystyle \overrightarrow{w}})=\frac{{\displaystyle \overrightarrow{u}}o{\displaystyle \overrightarrow{w}}}{{\displaystyle \overrightarrow{\left|u\right|}}·{\displaystyle \overrightarrow{\left|w\right|}}}=\frac{u_x{w}_x+u_y{w}_y}{\sqrt{{u_x}^2+{u_y}^2}·\sqrt{{w_x}^2+{w_y}^2}}$

© 2024 math.edu.pl      kontakt