logowanie

matematyka » arytmetyka » podzielność liczb » dzielniki i wielokrotności » liczba dzielników

Liczba dzielników - funkcja $\theta$

Oznaczmy przez $\theta(n)$ liczbę wszystkich dzielników naturalnych liczby $n$.

Liczba $1$ ma tylko jeden dzielnik $\theta(1)=1$, liczba $2$ ma dwa dzielniki $\theta(2)=2$, liczba $3$ ma także dwa dzielniki $\theta(3)=2$, liczba $4$ dzielników ma trzy: $1,2,4$, zatem $\theta(4)=3$, itd. W przypadku niedużych liczb, liczbę dzielników danej liczby, można policzyć po prostu je wypisując. Dla większych liczb możemy skorzystać z poniższego twierdzenia.

Jeśli rozkład na czynniki pierwsze liczby $n$ równy jest $n= p^{a_1}_1 p^{a_2}_2 \ldots p^{a_k}_k$, to $\theta(n) = (a_1+1)(a_2+1)\ldots (a_k+1)$.

Za pomocą tego twierdzenia, możemy policzyć liczbę dzielników liczby naturalnej $n$ nie wypisując ich, w zamian musimy rozłożyć liczbę $n$ na czynniki pierwsze. Sprawdźmy na przykładzie liczby $540$.
$540 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^1$
$\theta(540) = (2+1)(3+1)(1+1) = 3 \cdot 4 \cdot 2 = 24$.
Dla potwierdzenia przeprowadzonych rachunków, poniżej wszystkie dzielniki liczby $540$, jest ich razem $24$.
$D_{540}=\{1,2,3,4,5,6,9,10,12,15,18,20,27,30,36,45,54,60,90,108,135,180,270,540\}$

Jeśli liczba naturalna $p$ jest liczbą pierwszą, to $\theta(p) = 2$.


Oblicz liczbę dzielników liczby naturalnej $(n \gt 0)$.

  





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 166 drukuj