Liczby zaprzyjaźnione

Gdy zapytano Pitagorasa: Co to jest przyjaciel? - odpowiedział:
Przyjaciel to drugi ja; przyjaźń, to stosunek liczb 220 i 284.

Stąd prawdopodobnie pochodzi nazwa liczb zaprzyjaźnionych.

Liczby zaprzyjaźnione to dwie liczby naturalne, gdzie każda z nich jest równa sumie dzielników właściwych drugiej liczby.

Pierwsza para to 220 i 284.
D₂₈₄ = { 1, 2, 4, 71, 142 }
D₂₂₀ = { 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 }
220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142
284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110

W starożytności liczbom zaprzyjaźnionym przypisywano znaczenie mistyczne. Dzisiaj już wiara w zaprzyjaźnione liczby wygasła, i nikt nie korzysta z przykładu średniowiecznego księcia, którego liczbowa wartość imienia wynosiła 284 i który pozostał do śmierci kawalerem, bo nie mógł znaleźć narzeczonej, której imię miałoby wartość 220.

Pitagoras podał wzory generujące liczby zaprzyjaźnione. Liczby: $2^{n} \cdot a i 2^{n} \cdot b \cdot c dla a, b, c, n \in N$ są zaprzyjaźnione, jeśli a, b, c są liczbami pierwszymi postaci:
$a = {(2^{k} + 1)}^{2} \cdot 2^{2 n - k} - 1$
$b = 2^{n} - 1 + 2^{n - k}$
$c = 2^{n} - 1 + 2^{n + k}$

Liczby zaprzyjaźnione

Matematyka