Wyznacz wzór funkcji liniowej $f$, o której wiadomo, że do jej wykresu należy punkt $M = (\frac{1}{2}, -1)$ oraz $f(-2) = 5$.
Szukamy funkcji liniowej w postaci
$f(x)=ax+b$.
Z warunku, że punkt $M=\left(\dfrac12,-1\right)$ należy do wykresu, mamy:
$f\left(\dfrac12\right)=-1$, czyli
$a\cdot\dfrac12+b=-1$.
Z drugiego warunku $f(-2)=5$ otrzymujemy:
$-2a+b=5$.
Rozwiązujemy układ równań:
$\dfrac12 a+b=-1$
$-2a+b=5$.
Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego:
$(-2a+b)-\left(\dfrac12 a+b\right)=5-(-1)$
$-2a-\dfrac12 a=6$
$-\dfrac52 a=6$
$a=-\dfrac{12}{5}$.
Podstawiamy $a$ do równania $\dfrac12 a+b=-1$:
$\dfrac12\left(-\dfrac{12}{5}\right)+b=-1$
$-\dfrac{6}{5}+b=-1$
$b=-1+\dfrac{6}{5}=\dfrac{1}{5}$.
Zatem
$f(x)=-\dfrac{12}{5}x+\dfrac{1}{5}$.