Ponieważ punkt $D$ leży na boku $AB$, mamy
$AB=AD+DB=6+DB$.
Z warunku $|BC|=|BD|$ oznaczmy $|BC|=|BD|=t$.
Wtedy $AB=6+t$.
Ustawmy układ współrzędnych:
$A=(0,0)$, $D=(6,0)$, a ponieważ $DB=t$, to $B=(6+t,0)$.
Niech $C=(x,y)$, gdzie $y>0$.
Z danych o długościach:
$|AC|=16 \Rightarrow x^2+y^2=16^2=256$.
$|CD|=14 \Rightarrow (x-6)^2+y^2=14^2=196$.
Odejmujemy drugie równanie od pierwszego:
$x^2+y^2-\big((x-6)^2+y^2\big)=256-196$.
$x^2-(x-6)^2=60$.
$x^2-(x^2-12x+36)=60$.
$12x-36=60$, więc $12x=96$ i $x=8$.
Podstawiamy do $x^2+y^2=256$:
$8^2+y^2=256$, czyli $64+y^2=256$, stąd $y^2=192$.
Teraz korzystamy z warunku $|BC|=t$.
Odległość $BC$ spełnia:
$|BC|^2=(x-(6+t))^2+y^2$.
Zatem
$(8-(6+t))^2+192=t^2$.
$(2-t)^2+192=t^2$.
Rozwijamy:
$(t^2-4t+4)+192=t^2$.
$t^2-4t+196=t^2$.
$-4t+196=0$, więc $t=49$.
Zatem
$BC=49$, $BD=49$, a $AB=6+49=55$.
Obwód trójkąta $ABC$ wynosi:
$AB+BC+CA=55+49+16=120$.
Odpowiedź: obwód trójkąta $ABC$ wynosi $120$.