Niech $x_1,x_2$ będą dwoma różnymi pierwiastkami równania
$k^2x^2+(k-1)x+1=0$, gdzie $k\neq 0$.
Liczba $m$ jest dana wzorem
$m=\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}$, a następnie $f=2^m$.
Z wzorów Viete’a mamy:
$x_1+x_2=-\dfrac{k-1}{k^2}=\dfrac{1-k}{k^2}$,
$x_1x_2=\dfrac{1}{k^2}$.
Ponieważ $x_1x_2=\dfrac{1}{k^2}\neq 0$, to oba pierwiastki są różne od zera, więc ich odwrotności istnieją.
Obliczamy $m$:
$m=\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}
=\dfrac{\frac{1-k}{k^2}}{\frac{1}{k^2}}=1-k$.
Warunek „dwa różne pierwiastki” oznacza $\Delta>0$.
$\Delta=(k-1)^2-4k^2\cdot 1=(k-1)^2-4k^2=-3k^2-2k+1$.
Zatem
$-3k^2-2k+1>0 \iff 3k^2+2k-1<0$.
Rozwiązujemy nierówność $3k^2+2k-1<0$.
Pierwiastki równania $3k^2+2k-1=0$ są równe:
$k=\dfrac{-2\pm\sqrt{4+12}}{6}=\dfrac{-2\pm 4}{6}$, czyli $k_1=-1$, $k_2=\dfrac13$.
Ponieważ parabola ma ramiona w górę, dostajemy:
$-1<k<\dfrac13$, przy czym dodatkowo $k\neq 0$.
Zatem $k\in(-1,0)\cup(0,\dfrac13)$.
A ponieważ $m=1-k$, to:
dla $k\in(-1,0)$ mamy $m\in(1,2)$,
dla $k\in(0,\dfrac13)$ mamy $m\in(\dfrac23,1)$.
Czyli
$m\in\left(\dfrac23,1\right)\cup(1,2)$.
Szukamy zbioru wartości $f=2^m$. Funkcja $2^m$ jest rosnąca, więc przekształcamy przedziały:
$m\in\left(\dfrac23,1\right)\ \Rightarrow\ f\in\left(2^{2/3},2\right)$,
$m\in(1,2)\ \Rightarrow\ f\in(2,4)$.
Wartość $2$ nie należy do zbioru (bo wymagałaby $m=1$, czyli $k=0$, a to jest wykluczone).
Odpowiedź:
Zbiór wartości funkcji $f=2^m$ wynosi
$\left(2^{2/3},2\right)\cup(2,4)$.