Zadanie 98

Rozważmy równanie
$6x=5(3y+7)$.

Rozwijamy prawą stronę:
$6x=15y+35$.

Sprawdźmy podzielność przez $3$.
Lewa strona $6x$ jest zawsze podzielna przez $3$, bo $6x=3\cdot(2x)$.
Zatem prawa strona też musiałaby być podzielna przez $3$.

Tymczasem
$15y$ jest podzielne przez $3$, bo $15y=3\cdot(5y)$.
Pozostaje więc sprawdzić $35$ modulo $3$: $35=33+2$, czyli $35\equiv 2\pmod 3$.

Zatem
$15y+35\equiv 0+2\equiv 2\pmod 3$,
czyli $15y+35$ nie jest podzielne przez $3$ dla żadnej liczby całkowitej $y$.

Otrzymujemy sprzeczność: lewa strona jest podzielna przez $3$, a prawa nigdy nie jest.
Wobec tego nie istnieje para dodatnich liczb całkowitych $x,y$ spełniająca to równanie.