Podstawa ostrosłupa to trójkąt $ABC$, gdzie $|AB|=|AC|=9$ oraz $|BC|=8$.
Pole podstawy obliczymy z wzoru Herona.
Półobwód trójkąta $ABC$:
$s=\dfrac{9+9+8}{2}=13$.
Zatem
$P_{\triangle ABC}=\sqrt{s(s-9)(s-9)(s-8)}
=\sqrt{13\cdot 4\cdot 4\cdot 5}
=\sqrt{1040}
=4\sqrt{65}$.
Teraz wyznaczymy wysokość ostrosłupa (odległość punktu $S$ od płaszczyzny $ABC$).
Ustawiamy układ współrzędnych w płaszczyźnie podstawy:
$B=(-4,0,0)$, $C=(4,0,0)$ (wtedy $|BC|=8$), a punkt $A=(0,\sqrt{65},0)$, bo
$|AB|=\sqrt{4^2+(\sqrt{65})^2}=\sqrt{16+65}=9$ oraz tak samo $|AC|=9$.
Niech $S=(x,y,z)$. Z warunków $|SB|=|SC|=9$ mamy:
$(x+4)^2+y^2+z^2=81$,
$(x-4)^2+y^2+z^2=81$.
Odejmując równania dostajemy $16x=0$, czyli $x=0$.
Zatem $S=(0,y,z)$.
Z równania dla $|SB|=9$ przy $x=0$ otrzymujemy:
$4^2+y^2+z^2=81$, czyli
$y^2+z^2=65$.
Korzystamy jeszcze z warunku $|AS|=8$:
$(y-\sqrt{65})^2+z^2=64$.
Rozwijamy:
$y^2-2y\sqrt{65}+65+z^2=64$.
Podstawiamy $y^2+z^2=65$:
$65-2y\sqrt{65}+65=64$,
$130-2y\sqrt{65}=64$,
$2y\sqrt{65}=66$, więc
$y=\dfrac{33}{\sqrt{65}}$.
Teraz wyznaczamy $z$ z równania $y^2+z^2=65$:
$z^2=65-\left(\dfrac{33}{\sqrt{65}}\right)^2
=65-\dfrac{1089}{65}
=\dfrac{4225-1089}{65}
=\dfrac{3136}{65}
=\left(\dfrac{56}{\sqrt{65}}\right)^2$.
Zatem wysokość ostrosłupa wynosi
$h=|z|=\dfrac{56}{\sqrt{65}}$.
Objętość ostrosłupa:
$V=\dfrac{1}{3}\,P_{\triangle ABC}\,h
=\dfrac{1}{3}\cdot (4\sqrt{65})\cdot \dfrac{56}{\sqrt{65}}
=\dfrac{1}{3}\cdot 224
=\dfrac{224}{3}$.
Odpowiedź: $V=\dfrac{224}{3}$.