Niech trójkąt prostokątny ma przyprostokątną $a=4-\sqrt2$.
Rozważamy kąt o mierze $\alpha$, który leży przy tej przyprostokątnej, czyli przy boku $a$.
Dane jest $\cos\alpha=2-\sqrt2$.
Z definicji cosinusa w trójkącie prostokątnym mamy:
$\cos\alpha=\dfrac{\text{przyprostokątna przyległa}}{\text{przeciwprostokątna}}
=\dfrac{a}{c}$.
Zatem
$\dfrac{a}{c}=2-\sqrt2$, czyli
$c=\dfrac{a}{2-\sqrt2}$.
Podstawiamy $a=4-\sqrt2$:
$c=\dfrac{4-\sqrt2}{2-\sqrt2}$.
Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez $2+\sqrt2$:
$c=\dfrac{(4-\sqrt2)(2+\sqrt2)}{(2-\sqrt2)(2+\sqrt2)}$.
W mianowniku:
$(2-\sqrt2)(2+\sqrt2)=4-2=2$.
W liczniku:
$(4-\sqrt2)(2+\sqrt2)=8+4\sqrt2-2\sqrt2-2=6+2\sqrt2$.
Zatem
$c=\dfrac{6+2\sqrt2}{2}=3+\sqrt2$.
Teraz obliczamy drugą przyprostokątną $b$ z twierdzenia Pitagorasa:
$a^2+b^2=c^2$, więc
$b^2=c^2-a^2$.
Obliczamy $a^2$ i $c^2$:
$a^2=(4-\sqrt2)^2=16-8\sqrt2+2=18-8\sqrt2$.
$c^2=(3+\sqrt2)^2=9+6\sqrt2+2=11+6\sqrt2$.
Zatem:
$b^2=(11+6\sqrt2)-(18-8\sqrt2)= -7+14\sqrt2$.
Czyli
$b=\sqrt{-7+14\sqrt2}$.
Odpowiedź:
Przyprostokątne: $a=4-\sqrt2$ oraz $b=\sqrt{-7+14\sqrt2}$.
Przeciwprostokątna: $c=3+\sqrt2$.