Niech liczba ma postać $N=1234567ab$, gdzie $a$ i $b$ są cyframi.
Warunek podzielności przez $12$ oznacza jednocześnie podzielność przez $3$ i przez $4$:
$12=3\cdot 4$, a $\gcd(3,4)=1$.
1) Warunek podzielności przez $4$
O podzielności przez $4$ decydują dwie ostatnie cyfry, czyli liczba $10a+b$.
Zatem musi zachodzić $10a+b \equiv 0 \pmod 4$.
Ponieważ $10\equiv 2 \pmod 4$, mamy warunek:
$2a+b \equiv 0 \pmod 4$.
2) Warunek podzielności przez $3$
Suma cyfr liczby $N$ wynosi:
$1+2+3+4+5+6+7+a+b=28+a+b$.
Liczba jest podzielna przez $3$ wtedy i tylko wtedy, gdy
$28+a+b\equiv 0 \pmod 3$.
Ponieważ $28\equiv 1 \pmod 3$, dostajemy:
$1+a+b\equiv 0 \pmod 3$, czyli
$a+b\equiv 2 \pmod 3$.
Teraz szukamy wszystkich par cyfr $(a,b)$ spełniających jednocześnie:
$2a+b\equiv 0 \pmod 4$ oraz $a+b\equiv 2 \pmod 3$.
Wyznaczenie par
Dla każdej cyfry $a\in\{0,1,\dots,9\}$ wyznaczamy $b$ z warunku modulo $4$, a potem sprawdzamy warunek modulo $3$.
Otrzymujemy pary:
$a=0$: $b\in\{0,4,8\}$, pasuje $b=8$
$a=1$: $b\in\{2,6\}$, pasuje $b=4$ nie (brak), pasuje $b=2$ tak, $b=6$ nie
$a=2$: $b\in\{0,4,8\}$, pasuje $b=0$, $b=8$
$a=3$: $b\in\{2,6\}$, pasuje $b=6$
$a=4$: $b\in\{0,4,8\}$, pasuje $b=4$
$a=5$: $b\in\{2,6\}$, pasuje $b=2$
$a=6$: $b\in\{0,4,8\}$, pasuje $b=0$, $b=8$
$a=7$: $b\in\{2,6\}$, pasuje $b=6$
$a=8$: $b\in\{0,4,8\}$, pasuje $b=4$
$a=9$: $b\in\{2,6\}$, pasuje $b=2$
Zatem wszystkie możliwe pary $(a,b)$ to:
$(0,8)$, $(1,2)$, $(2,0)$, $(2,8)$, $(3,6)$, $(4,4)$, $(5,2)$, $(6,0)$, $(6,8)$, $(7,6)$, $(8,4)$, $(9,2)$.