Oblicz iloraz ciągu geometrycznego $(a_n)$, określonego dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$, jeżeli $a_2 = \frac{1}{2}$ i $a_5 = \frac{27}{16}$.
Ciąg geometryczny spełnia zależność $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$, gdzie $q$ to iloraz.
Z danych mamy:
$a_2=a_1\cdot q=\dfrac12$,
$a_5=a_1\cdot q^4=\dfrac{27}{16}$.
Dzielimy drugie równanie przez pierwsze, aby pozbyć się $a_1$:
$\dfrac{a_5}{a_2}=\dfrac{a_1 q^4}{a_1 q}=q^3$.
Obliczamy lewą stronę:
$q^3=\dfrac{\frac{27}{16}}{\frac12}=\dfrac{27}{16}\cdot 2=\dfrac{27}{8}$.
Zatem:
$q=\sqrt[3]{\dfrac{27}{8}}=\dfrac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}=\dfrac{3}{2}$.
Odpowiedź: $q=\dfrac{3}{2}$.