Niech graniastosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt równoboczny o boku $a$ oraz wysokość (krawędź boczną) $h$.
Pole podstawy:
$P_p=\dfrac{\sqrt3}{4}a^2$.
Objętość:
$V=P_p\cdot h=\dfrac{\sqrt3}{4}a^2h=2$.
Stąd wyrażamy $h$:
$h=\dfrac{8}{\sqrt3\,a^2}$.
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:
$S=2P_p+P_b$, gdzie $P_b$ to pole boczne.
Mamy
$2P_p=2\cdot\dfrac{\sqrt3}{4}a^2=\dfrac{\sqrt3}{2}a^2$,
a pole boczne to obwód podstawy razy wysokość:
$P_b=(3a)\cdot h=3ah$.
Zatem
$S(a)=\dfrac{\sqrt3}{2}a^2+3a\cdot \dfrac{8}{\sqrt3\,a^2}
=\dfrac{\sqrt3}{2}a^2+\dfrac{24}{\sqrt3\,a}
=\dfrac{\sqrt3}{2}a^2+\dfrac{8\sqrt3}{a}$,
gdzie $a>0$.
Minimalizujemy $S(a)$. Liczymy pochodną:
$S'(a)=\sqrt3\,a-\dfrac{8\sqrt3}{a^2}=\sqrt3\left(a-\dfrac{8}{a^2}\right)$.
Warunek $S'(a)=0$ daje:
$a-\dfrac{8}{a^2}=0 \Rightarrow a^3=8 \Rightarrow a=2$.
Sprawdzamy wysokość:
$h=\dfrac{8}{\sqrt3\cdot 2^2}=\dfrac{8}{4\sqrt3}=\dfrac{2}{\sqrt3}$.
Obliczamy minimalne pole całkowite dla $a=2$:
$S_{\min}=\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot 2^2+\dfrac{8\sqrt3}{2}
=\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot 4+4\sqrt3
=2\sqrt3+4\sqrt3=6\sqrt3$.
Odpowiedź:
Bok trójkąta w podstawie: $a=2$.
Wysokość graniastosłupa: $h=\dfrac{2}{\sqrt3}$.
Najmniejsze pole powierzchni całkowitej: $S_{\min}=6\sqrt3$.