Prostokąt ma obwód równy $20\ \text{cm}$.
a) Wyraź pole $P$ prostokąta w zależności od długości jednego boku $x$.
b) Dla jakiej wartości $x$ pole jest największe?
c) Oblicz maksymalne pole.
a) Niech boki prostokąta mają długości $x$ oraz $y$.
Z warunku na obwód:
$$
2x+2y=20 \Rightarrow x+y=10 \Rightarrow y=10-x.
$$
Pole:
$$
P(x)=x\cdot y=x(10-x)=10x-x^2.
$$
b) Funkcja
$$
P(x)=-x^2+10x
$$
jest kwadratowa i ma ramiona skierowane w dół, więc maksimum jest w wierzchołku.
Współrzędna $x$ wierzchołka:
$$
x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2\cdot(-1)}=5.
$$
c) Maksymalne pole:
$$
P_{\max}=P(5)=10\cdot 5-5^2=50-25=25.
$$
Odpowiedź:
a) $P(x)=10x-x^2$.
b) Największe pole jest dla $x=5\ \text{cm}$ (wtedy $y=5\ \text{cm}$).
c) $P_{\max}=25\ \text{cm}^2$.