Zadanie 151

Ustawmy układ współrzędnych tak, aby wierzchołek kąta prostego był w punkcie $(0,0)$, przyprostokątne leżały na osiach.

Prosta przeciwprostokątnej przechodzi przez punkty $(6,0)$ i $(0,8)$. Jej równanie ma postać: $$ y=-\frac{4}{3}x+8. $$

Jeden wierzchołek prostokąta ma współrzędne $(x,0)$, drugi $(0,y)$, a przeciwległy leży na przeciwprostokątnej.

Zatem punkt $(x,y)$ spełnia równanie: $$ y=-\frac{4}{3}x+8. $$

Pole prostokąta: $$ P(x)=x\cdot y=x\left(-\frac{4}{3}x+8\right) =-\frac{4}{3}x^2+8x. $$

Jest to funkcja kwadratowa. Jej maksimum jest w wierzchołku.

Współrzędna wierzchołka: $$ x_w=-\frac{b}{2a} =-\frac{8}{2\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)} =3. $$

Wtedy: $$ y=-\frac{4}{3}\cdot 3+8=4. $$

Maksymalne pole: $$ P_{\max}=3\cdot 4=12. $$

Odpowiedź:
Wymiary prostokąta: $3$ i $4$.
Największe pole wynosi $12$.