Zadanie 150

Przekształcamy nierówność do postaci „$\ge 0$”:

$$ \frac{p^4+1}{2}-p^2 \ge 0. $$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika:

$$ \frac{p^4+1-2p^2}{2}\ge 0. $$

Zauważmy, że licznik jest kwadratem:

$$ p^4-2p^2+1=(p^2-1)^2. $$

Zatem:

$$ \frac{(p^2-1)^2}{2}\ge 0. $$

Ponieważ $(p^2-1)^2\ge 0$ dla każdego $p\in\mathbb{R}$, a mianownik $2>0$, to cała lewa strona jest nieujemna.

Wniosek: nierówność $p^2 \le \dfrac{p^4+1}{2}$ jest prawdziwa dla każdego $p\in\mathbb{R}$.