Dana jest funkcja
$
f(x)=5x^3-5x.
$
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $c$ liczba $f(c)$ jest podzielna przez $30$.
Obliczamy wartość funkcji dla liczby całkowitej $c$:
$
f(c)=5c^3-5c.
$
Wyłączamy wspólny czynnik:
$
f(c)=5c(c^2-1).
$
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:
$
c^2-1=(c-1)(c+1).
$
Zatem:
$
f(c)=5c(c-1)(c+1).
$
Liczby $c-1$, $c$, $c+1$ są trzema kolejnymi liczbami całkowitymi.
Wśród trzech kolejnych liczb całkowitych:
• jedna jest podzielna przez $2$,
• jedna jest podzielna przez $3$.
Oznacza to, że iloczyn
$
c(c-1)(c+1)
$
jest podzielny przez $6$.
Ponieważ
$
f(c)=5\cdot c(c-1)(c+1),
$
to liczba $f(c)$ jest podzielna przez
$
5\cdot 6=30.
$
Wniosek: dla każdej liczby całkowitej $c$ liczba $f(c)$ jest podzielna przez $30$.