Zadanie 149

Wyłączamy przed nawias większą potęgę, czyli $7^n$:

$$ \sqrt[n]{6^n+7^n} = \sqrt[n]{7^n\left(\left(\frac{6}{7}\right)^n+1\right)}. $$

Korzystamy z własności pierwiastka:

$$ \sqrt[n]{7^n\left(\left(\frac{6}{7}\right)^n+1\right)} = \sqrt[n]{7^n}\cdot \sqrt[n]{\left(\frac{6}{7}\right)^n+1}. $$

Otrzymujemy:

$$ 7\cdot \sqrt[n]{\left(\frac{6}{7}\right)^n+1}. $$

Ponieważ $ 0<\frac{6}{7}<1, $ więc

$$ \left(\frac{6}{7}\right)^n \longrightarrow 0 \quad \text{gdy } n\to\infty. $$

Stąd:

$$ \sqrt[n]{\left(\frac{6}{7}\right)^n+1} \longrightarrow \sqrt[n]{1} = 1. $$

Zatem:

$$ \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{6^n+7^n} = 7\cdot 1 = 7. $$

Odpowiedź: $7$.