a) Liczymy liczbę wyborów (kombinacji) bez uwzględniania kolejności.
Najpierw wybieramy, które dwa kolory występują. Są $3$ pary:
(czerwone+niebieskie), (czerwone+zielone), (niebieskie+zielone).
Dla każdej pary liczymy liczbę sposobów wylosowania $5$ kul tak,
aby oba kolory wystąpiły co najmniej raz.
Para 1: czerwone (6) i niebieskie (5)
Możliwe rozkłady: $(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)$.
$$
N_{RN}=\binom{6}{1}\binom{5}{4}+\binom{6}{2}\binom{5}{3}+\binom{6}{3}\binom{5}{2}+\binom{6}{4}\binom{5}{1}.
$$
$$
N_{RN}=6\cdot 5+15\cdot 10+20\cdot 10+15\cdot 5
=30+150+200+75=455.
$$
Para 2: czerwone (6) i zielone (4)
Rozkłady: $(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)$, ale z zielonych mamy tylko $4$, więc wszystko OK.
$$
N_{RZ}=\binom{6}{1}\binom{4}{4}+\binom{6}{2}\binom{4}{3}+\binom{6}{3}\binom{4}{2}+\binom{6}{4}\binom{4}{1}.
$$
$$
N_{RZ}=6\cdot 1+15\cdot 4+20\cdot 6+15\cdot 4
=6+60+120+60=246.
$$
Para 3: niebieskie (5) i zielone (4)
Rozkłady: $(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)$.
$$
N_{NZ}=\binom{5}{1}\binom{4}{4}+\binom{5}{2}\binom{4}{3}+\binom{5}{3}\binom{4}{2}+\binom{5}{4}\binom{4}{1}.
$$
$$
N_{NZ}=5\cdot 1+10\cdot 4+10\cdot 6+5\cdot 4
=5+40+60+20=125.
$$
Zatem łączna liczba sposobów:
$$
N = N_{RN}+N_{RZ}+N_{NZ}=455+246+125=826.
$$
Odpowiedź (a): $826$.
b) Liczba wszystkich sposobów wylosowania $5$ kul z $6+5+4=15$ kul wynosi:
$$
\binom{15}{5}=3003.
$$
Szukane prawdopodobieństwo:
$$
P=\frac{826}{3003}.
$$
Ułamek można skrócić przez $7$:
$$
\frac{826}{3003}=\frac{118}{429}.
$$
Odpowiedź (b): $P=\dfrac{118}{429}$.