Kosinus kąta rozwartego równoległoboku o bokach długości $3$ i $4$ jest równy $-\frac{2}{3}$. Oblicz długość dłuższej przekątnej tego równoległoboku.
Dla równoległoboku o bokach $a$, $b$ i kącie między nimi $\alpha$ długości przekątnych
spełniają wzory:
$$
d_1^2=a^2+b^2+2ab\cos\alpha,\qquad
d_2^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha.
$$
Ponieważ $\cos\alpha<0$ (kąt jest rozwarty), to
dłuższa przekątna odpowiada wzorowi:
$$
d^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha.
$$
Podstawiamy dane:
$a=3$, $b=4$, $\cos\alpha=-\dfrac{2}{3}$.
$$
d^2=3^2+4^2-2\cdot3\cdot4\cdot\left(-\frac{2}{3}\right).
$$
$$
d^2=9+16+16=41.
$$
$$
d=\sqrt{41}.
$$
Odpowiedź: długość dłuższej przekątnej wynosi $\sqrt{41}$.