Zadanie 153

Oznaczmy $\alpha=\angle BAD$. W równoległoboku o bokach $a$, $b$ i kącie między nimi $\alpha$ zachodzą wzory na przekątne:

$$ d_1^2=a^2+b^2+2ab\cos\alpha,\qquad d_2^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha. $$

Podstawiamy dane: $a=5$, $b=7$, $\cos\alpha=-\dfrac{3}{5}$.

$$ d_1^2=5^2+7^2+2\cdot5\cdot7\cdot\left(-\frac{3}{5}\right) =25+49-42=32, $$

$$ d_2^2=5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cdot\left(-\frac{3}{5}\right) =25+49+42=116. $$

Zatem: $$ d_1=4\sqrt{2},\qquad d_2=2\sqrt{29}. $$

Dłuższą przekątną jest $2\sqrt{29}$.

b) Pole równoległoboku

Korzystamy ze wzoru:

$$ P=ab\sin\alpha. $$

Z tożsamości $\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha$:

$$ \sin\alpha=\sqrt{1-\left(-\frac{3}{5}\right)^2} =\sqrt{1-\frac{9}{25}} =\frac{4}{5}. $$

Pole:

$$ P=5\cdot7\cdot\frac{4}{5}=28. $$

Odpowiedź:
a) $4\sqrt{2}$ oraz $2\sqrt{29}$.
b) $28$.