Zadanie 154

Sprowadzamy wszystkie liczby do potęg o podstawie $3$:

$ 9^{x}=(3^2)^x=3^{2x}, $

$ 27^{1-x}=(3^3)^{1-x}=3^{3-3x}, $

$ \sqrt{3}=3^{1/2}. $

Podstawiamy do wyrażenia:

$ \log_{3}\!\left(\frac{3^{2x}\cdot 3^{3-3x}}{3^{1/2}}\right). $

Łączymy potęgi:

$ \log_{3}\!\left(3^{\,2x+3-3x-\frac12}\right) = \log_{3}\!\left(3^{\,\frac52-x}\right). $

Korzystamy z własności logarytmu:

$ \log_{3}\!\left(3^{\,\frac52-x}\right)=\frac52-x. $

Odpowiedź: $\displaystyle \frac52-x$.