W ciągu geometrycznym:
$$
a_2=a_1q,\quad
a_3=a_1q^2,\quad
a_4=a_1q^3.
$$
1) Korzystamy z warunku $a_2\cdot a_4=64$
$$
a_1q\cdot a_1q^3=a_1^2q^4=64.
$$
Zauważmy, że:
$$
a_1^2q^4=(a_1q^2)^2.
$$
A ponieważ $a_3=a_1q^2$, otrzymujemy:
$$
a_3^2=64 \Rightarrow a_3=8
$$
(ciąg ma dodatnie wyrazy).
2) Korzystamy z warunku $a_2+a_3+a_4=26$
$$
a_1q+a_1q^2+a_1q^3=26.
$$
Wyłączamy $a_1q^2$:
$$
a_1q^2\left(\frac{1}{q}+1+q\right)=26.
$$
Ponieważ $a_1q^2=8$, mamy:
$$
8\left(\frac{1}{q}+1+q\right)=26.
$$
Dzielimy przez $2$:
$$
4\left(\frac{1}{q}+1+q\right)=13.
$$
$$
\frac{1}{q}+1+q=\frac{13}{4}.
$$
Mnożymy przez $q$:
$$
1+q+q^2=\frac{13}{4}q.
$$
Mnożymy przez $4$:
$$
4+4q+4q^2=13q.
$$
$$
4q^2-9q+4=0.
$$
3) Rozwiązujemy równanie kwadratowe
$$
\Delta=(-9)^2-4\cdot4\cdot4=81-64=17.
$$
$$
q=\frac{9\pm\sqrt{17}}{8}.
$$
4) Wyznaczamy $a_1$
Ponieważ $a_1q^2=8$, więc:
$$
a_1=\frac{8}{q^2}.
$$
Odpowiedź:
$$
q=\frac{9\pm\sqrt{17}}{8},
\qquad
a_1=\frac{8}{q^2}.
$$