Zadanie 156

Wyrazy tworzą ciąg arytmetyczny:

$ a_1=1,\qquad r=4. $

Ostatni wyraz oznaczmy przez $x=a_n$. Wtedy:

$$ a_n=a_1+(n-1)r=1+(n-1)\cdot4=4n-3. $$

Zatem:

$$ x=4n-3. $$

Suma $n$ początkowych wyrazów:

$$ S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}. $$

Podstawiamy dane:

$$ \frac{n(1+x)}{2}=190. $$

Mnożymy przez $2$:

$$ n(1+x)=380. $$

Podstawiamy $x=4n-3$:

$$ n(1+4n-3)=380. $$

$$ n(4n-2)=380. $$

$$ 4n^2-2n-380=0. $$

Dzielimy przez $2$:

$$ 2n^2-n-190=0. $$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe

$$ \Delta=(-1)^2+4\cdot2\cdot190=1+1520=1521. $$

$$ \sqrt{\Delta}=39. $$

$$ n=\frac{1\pm39}{4}. $$

$$ n_1=10,\qquad n_2=-\frac{38}{4}<0 \ (\text{odrzucamy}). $$

Zatem:

$$ x=4n-3=4\cdot10-3=37. $$

Odpowiedź: $x=37$.