Rozkładamy wielomian trzeciego stopnia.
Sprawdzamy pierwiastki trywialne: dla $x=-1$ mamy
$$
(-1)^3+3(-1)+4=-1-3+4=0,
$$
więc $x+1$ jest czynnikiem.
Dzieląc wielomian $x^3+3x+4$ przez $x+1$ otrzymujemy:
$$
x^3+3x+4=(x+1)(x^2-x+4).
$$
Zauważmy, że trójmian kwadratowy
$$
x^2-x+4
$$
ma wyróżnik
$$
\Delta = (-1)^2-4\cdot1\cdot4=1-16=-15<0,
$$
więc nie ma miejsc zerowych i dla każdego $x\in\mathbb{R}$ jest dodatni:
$$
x^2-x+4>0.
$$
Zatem znak wyrażenia $x^3+3x+4$ zależy tylko od czynnika $x+1$:
$$
x^3+3x+4 \begin{cases}
<0 & \text{dla } x<-1,\\
=0 & \text{dla } x=-1,\\
>0 & \text{dla } x>-1.
\end{cases}
$$
Nasza nierówność przyjmuje więc równoważną postać (ponieważ $x^2-x+4>0$ zawsze):
$$
(x+2)(x+1)<0.
$$
Iloczyn dwóch czynników jest ujemny wtedy i tylko wtedy, gdy mają one przeciwne znaki.
Zatem rozwiązaniem jest przedział pomiędzy pierwiastkami:
$$
-2
Odpowiedź:
$$
x\in(-2,-1).
$$