Najpierw określamy dziedzinę: wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne:
$$(x+1)^2-4\ge 0\iff (x+1)^2\ge 4\iff x+1\le -2\ \text{lub}\ x+1\ge 2$$
czyli $$x\le -3\ \text{lub}\ x\ge 1.$$
Ponadto prawa strona pierwiastka jest nieujemna, a lewa ($|2x-3|$) zawsze nieujemna.
Podnosimy obie strony do kwadratu (zachowując dziedzinę):
$$ (2x-3)^2=(x+1)^2-4.$$
Rozwijamy i upraszczamy:
$$4x^2-12x+9 = x^2+2x+1-4 = x^2+2x-3.$$
$$4x^2-12x+9 -x^2-2x+3=0$$
$$3x^2-14x+12=0.$$
Rozwiązujemy trójmian: delta
$$\Delta = (-14)^2-4\cdot 3\cdot 12=196-144=52.$$
$$x=\dfrac{14\pm\sqrt{52}}{6}=\dfrac{14\pm 2\sqrt{13}}{6}=\dfrac{7\pm\sqrt{13}}{3}.$$
Teraz sprawdzamy, które z tych rozwiązań spełniają warunek dziedziny $x\le -3$ lub $x\ge 1$.
Obliczamy przybliżenia: $\sqrt{13}\approx3{,}606$.
$$x_1=\dfrac{7+\sqrt{13}}{3}\approx \dfrac{10{,}606}{3}\approx 3{,}535\quad(\ge1)$$
$$x_2=\dfrac{7-\sqrt{13}}{3}\approx \dfrac{3{,}394}{3}\approx 1{,}131\quad(\ge1)$$
Oba rozwiązania leżą w dopuszczalnej części dziedziny.
Dodatkowo warto sprawdzić w oryginalnym równaniu (krótkie podstawienie pokazuje zgodność, obie strony nieujemne i równają się), więc oba są poprawne.
Odpowiedź: $$x=\dfrac{7\pm\sqrt{13}}{3}.$$